基于Copula理論的成都各區房屋價格關聯分析

(四川大學，四川 成都 610065)

1 引言

一個區域房價的暴漲或暴跌，往往會呈現星星之火可以燎原的勢態向周邊區域波及，進而可能引發全局性的房價同步調漲跌。若無法宏觀把控這種房價運動的規律和溢出效應，即使某個區域房價已發出明顯的漲跌信號，仍無法將信息效益最大化，難以預判即將到來的房價的整體性震蕩趨勢。此外，基于我國土地財政目前高杠桿、高負債的特點，將房價區域關聯規律邊緣化會加劇地方財政收入、銀行貸款投放以及居民償債能力中潛在的風險，甚至會構成嚴重的系統性風險和社會性危害。“十三五”規劃布局也明確指出政府部門對于房價的干預和調控需要特別考慮房價的區域關聯和溢出效應。因此，發掘各個區域房地產價格變化的內在關聯規律尤為重要，這樣才能更好地預估房價變化，對老百姓消費與投資進行引導。

對于房價聯動關系和Copula理論，研究者已經留下了大量的學術成果，具有豐富的研究價值，下面將綜述國內外學者有關房價變化的研究及Copula理論的發展情況。

1.1 國外的研究近況

Meen最早提出了“波紋效應”，認為一個區域房價的波動會在空間上擴散傳導到周圍區域，引起周邊房價的波動。Holmes使用時間序列和截面兩個維度的樣本數據進行單位根檢驗，結果表明在“波紋效應”下，從長期來看各地區的房價將逐漸收斂。縱觀Copula理論的發展，著名的Sklar引理為日后連接函數理論打下了理論根基。Deheuvels給出了查驗不同Copula模型擬合優度的標尺。Rodriguez指出房價在急劇上升或下降時對周圍地區的影響較大，此時相關性較顯著。Zimmer使用Clayton-Gumbel Copula發現美國四個州房價的上尾相關性比下尾相關性更強。

1.2 國內的研究近況

中國房地產與發達國家相比起步較晚，對房價的研究更多局限于單一區域。梁云芳、高鐵梅研究發現我國房價波動強度存在區域性差異，或許有從東部傳播到中西部的“波紋效應”。余華義和黃燕芬分析了我國不同城市房價溢出效應的強度，GVAR模型的結果表明一線城市最強、東部地區減弱、西部地區最弱。張銜、林仁達使用向量誤差分析模型發現我國房價存在短期“波紋效應”，表現為依賴型和獨立型。

2 Copula相關理論原理

2.1 Copula函數的定義

N

元Copula函數是具有以下性質的函數

C

(

u

,

u

,…,

u

):自變量取值范圍是[0,1]；

C

(

u

,

u

,…,

u

)有零基面，且為

N

維增函數；

C

(

u

,

u

,…,

u

)有邊緣分布函數

C

(

u

)，(

i

=1,2,…，

N

)，并且有

C

(

u

)=

C

(1,…,1,

u

,1,…,1)=

u

，其中，

u

∈[0,1]，

i

∈(1,2,…,

N

)。Copula理論的核心結論是Sklar引理，它揭示了Copula理論的基本原理：令

F

(

x

,

x

,…,

x

)是

N

元聯合分布函數，對應的邊緣分布為

F

(

x

),…,

F

(

x

)，則存在一個Copula函數

C

(

u

,

u

,…,

u

)，滿足：

F

(

x

,

x

,…,

x

)=

C

[

F

(

x

),

F

(

x

),…,

F

(

x

)]

(1)

特別地，邊緣分布的連續性可以保證Copula函數的唯一性；相反，給定N個邊緣分布函數和一個Copula函數，則由式(1)可以確定一個N元聯合分布函數。該定理指明Copula函數決定了由邊緣分布到聯合分布以及由聯合分布到邊緣分布的轉換橋梁。聯合分布函數的拆解是隨機性和耦合性的剝離，隨機性由對應的邊緣分布刻畫，耦合性則由Copula函數來描述，不同的耦合方式對應不同的聯合分布，但這種耦合并不會改變耦合體與邊緣分布之間的對應關系，對聯合分布函數的求解可以轉化為求Copula函數。基于此雙向粘合的性質，Copula函數又被稱作連接函數。

2.2 常用的Copula函數

2.2.1 正態Copula函數

N

元正態(或高斯Gauss)Copula分布函數表達式是：

C

(

u

,

u

,…,

u

;

ρ

)=

φ

(

φ

(

u

),

φ

(

u

),…,

φ

(

u

))

(2)

式中，

ρ

是

N

階對稱正定矩陣，

φ

為

N

元標準正態分布的分布函數，且對應的

N

維隨機變量的相關系數矩陣為

ρ

，它的對角元都為1，其他元素是不同變量間的協方差，

φ

表示一元標準正態分布函數的逆函數。

2.2.2 t-Copula函數

N

元t-Copula分布函數是：

(3)

式中，

t

,為協方差矩陣是

ρ

、自由度是

k

的

N

元標準

t

分布的分布函數，表示自由度為

k

的

t

分布的分布函數的逆函數。對于二元情形，自由度為

k

的二元

t

-Copula分布函數可以寫作：

(4)

2.2.3 阿基米德Copula函數

阿基米德Copula函數是由其生成元唯一確定，可以分為對稱型和非對稱型，常見的二元Copula函數有Gumbel Copula函數、Clayton Copula函數、Frank Copula函數，都為對稱型，非對稱型更適用于三維以上變量間的耦合。二元情況下，Copula分布函數的參數只有一個：

Gumbel Copula：

C

(

u

,

v

;

α

)=

(5)

(6)

Frank Copula：

C

(

u

,

v

;

λ

)=

(7)

3 實證研究

將成都市成華區、武侯區、青羊區和錦江區四個區域2016—2020年的月度房價平均增長率，作為房價的代理變量，研究房價增速的相關程度，每個區域的有效樣本數據為60個，其時間跨度和樣本量足以保證研究的有效性。

3.1 邊緣分布的建立

常用的正態檢驗方法都存在不同的瑕疵，本節綜合運用Jarque-Bera檢驗、Kolmogorov檢驗和Lilliefors檢驗三種方法對變量的正態性加以驗證。

在常用的刻畫變量分布的方法中，有參數法和非參數法，運用參數法的前提是假定變量服從某已知分布，采用樣本觀測值來估計分布中的參數；但如果變量呈現尖峰、厚尾等非正態特征，就無法預判其分布形式，對于這種情況應使用非參數法。

3.1.1 正態性檢驗

Jarque-Bera法是以建立的統計量所呈現的觀測值大小為標準來做出是否拒絕變量服從正態分布原假設的決定。因為正態分布的偏度為0，峰度為3，若樣本服從正態分布，則樣本偏度和峰度也應分別接近0和3。

Kolmogorov-Smirnov檢驗的核心是判斷樣本變量的分布是否與一個已知分布相同，原假設為分布相同。采用方法是判斷樣本變量的經驗分布函數與已知分布函數的距離大小，距離越大，認為兩分布相差越遠，當超過給定的閾值時，拒絕原假設。

Lilliefors檢驗是對KS檢驗的發展和修正，根據觀測值來估計變量的均值和方差，算出分布函數和經驗分布函數的最大差值，而對于差值是否足夠大的評估，這一過程比KS檢驗更加復雜。

根據檢驗結果，這三個區房價增速序列非正態，因此使用非參數法求解其分布。

3.1.2 非參數法求解邊緣分布

非參數法核密度估計法的核心原理是對于任意一點

x

處的密度函數估計值的大小與該點鄰域內樣本點的稠密程度有關，分布越密集，該點的密度函數估計值越高，并按照樣本點與

x

的距離大小分配權重，權重函數為

K

(

x

,

x

)，即核函數。核函數可以有各樣的形式，但共同點是一定為某個分布的密度函數，取不同的核函數對最終結果影響差異性不大。

3.2 二元Copula函數的估計

得到了邊緣分布之后，對于相關性的探究就轉化為Copula函數的估計，它體現著這些邊緣分布之間的相依結構，加之它對于邊緣分布沒有特殊要求，在揭示尾部相關上有良好的性質，對房價之間的關聯有精準的刻畫。

若兩區域的房價增速在較大值和較小值處分布相對對稱，則可以選用具有對稱厚尾的

t

-Copula來描述其相關結構，而 Frank Copula、Gauss Copula尾部漸進獨立，無法捕捉尾部相關，對于重視尾部風險的房價相關性來說不是很好的選擇；若尾部不對稱，則選用阿基米德人工合成的Copula模型，比如 Clayton Copula對下尾相關更敏感而上尾獨立， Gumbel Copula對邊緣分布的上尾粘合效果更好但無法描述下尾相關性。

此處采用的擬合手段是調用copulafit函數計算相應Copula函數的參數。

3.3 模型評價

至此，得到了區域之間房價的Copula函數的參數，對于最優Copula函數的選取，評價依據是：所求的Copula函數與樣本經驗Copula函數偏差越小，則認為擬合效果更佳。使用樣本數據擬合對應的樣本經驗Copula函數

C

(

u

,

v

)，在多維空間中分別比較樣本經驗函數與這五種Copula函數的綜合距離的平方：

(8)

可以得出成華青羊、成華錦江、武侯錦江選取Gumbel Copula，成華武侯、青羊武侯、青羊錦江選用

t

-Copula，

t

-Copula與Gumbel Copula的密度函數通式分別見式(4)和式(5)，相應參數見表1。

成華青羊成華武侯成華錦江青羊武侯青羊錦江武侯錦江tρ0.81640.70070.7336k2.02611.00001.3652Gumbel3.04432.38912.2087

3.4 模型結論和購房建議

3.4.1 模型結論

根據計算結果發現，四個區域房價整體上存在較高的上尾部相關，即當出現或嚴重通貨膨脹等極端狀況時，房價往往表現出同漲同跌的趨勢。成華武侯、青羊武侯、青羊錦江尾部結構是對稱的，成華與青羊、成華與錦江、青羊與錦江之間，房價同時上升時兩者同向運動的態勢要強于房價同時下降時兩者同向運動的態勢。但除去極端情況后，一般情況下房價間的非線性相關結構格外復雜，并無固定規律可循，宏觀政策的調控可能對彼此產生正向影響或負向影響。作為成都市的主城區，由于經濟聯系緊密，整體房價漲跌聯系也是十分密切的。由于成都向東向南的發展趨勢，盡管這四個區都地處“中優”，但相較青羊區，剩下三區會更加被發展大潮流帶動，因此，未來這三個區域房價的聯系可能會更加密切。

但成都主城區的這種完善和成熟，也導致當地房地產行業趨于飽和，規模效應大不如周邊的發展中區域，房子的增值空間更易被壓縮。而在不成熟的區域，如果規劃政策足夠優質，房價漲幅可能會較大，甚至成為領漲區；但對于這些成熟區域而言，難有大的規劃利好刺激，也不太會出現領漲的區域。

3.4.2 購房建議

在房住不炒的背景下，現階段成都的樓市一般來說不會出現某個區域房價大幅度上漲的情況，只要有異常高漲的苗頭，就逃不脫當地調控政策的精準打擊。因此在選擇這四個區域購房時，沒有所謂的方向論，不存在不能買的區域，只存在不能買的價格。對區域的選擇，購房者要根據自身的不同需求做出具體選擇；對樓市的判斷，則要細分到板塊、精確到小區甚至是樓層戶型。不同區域的每個方向，都有值得購買的小區，同樣也有不劃算的房源，因為每個小區在所處板塊的定位不同，具體情況不同，其增值潛力上的情況也大不相同。