不同形狀的多自由度內置PTO式波浪能轉換裝置的性能分析

謝惠媚，孟凡泰，徐潛龍，王尚明，謝 彬，李 曄

（1.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240；2.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室多功能船模拖曳水池，上海 200240）

0 引言

波浪能是一種清潔可再生、資源豐富、具有廣闊應用前景的新能源。波浪能的全球總量約為2.11 TW[1]。基于不同的工作原理，波浪能轉換裝置（Wave Energy Converter，WEC）大致可分為振蕩水柱式，越浪式和振動浮子式。其中，代表性的原型設備包括Carnegie公司研制的CETO 5，英國Voith Hydro Wavegen公司研制的振蕩水柱裝置Limpet以及越浪式裝置Wave Dragon等[2]～[4]。

根據波能轉換系統（Power Take Off，PTO）的放置形式，振動浮子WEC可分為外置PTO式和內置PTO式。外置PTO式WEC的PTO暴露于海水當中，容易受到海水腐蝕。內置PTO式WEC將PTO整合到裝置中，使整個系統緊湊，同時不易受到海水腐蝕，在安裝和維護上具有極大的便利性。內置PTO式WEC在單一方向的工作效率較低，但可吸收多個方向的能量，如垂蕩、橫蕩、縱蕩等，從而提高整體的輸出功率。鄭明月探究的一種全封閉振蕩浮子有兩個自由度，可通過最大功率點跟蹤實現功率最大化[5]。柴輝采用理論方式驗證了三自由度單擺式WEC的可行性[6]。內置PTO式WEC可以從多個方向吸收能量，彌補了PTO內置造成的功率缺陷。

WEC的形狀和設計方式會影響其對波浪能的吸收效率。內置PTO式WEC主要利用內部振子與外殼間的相對運動提取能量，如廣州能源所研發的“鴨式”、“鷹式”波浪能裝置等[7]，[8]。對于外置PTO式WEC，眾多學者已經對其形狀進行了系統分析，然而關于內置PTO式WEC的相關研究較少[9]～[11]。Lixian Wang提出的圓柱狀內置PTO式WEC的最大轉換效率約為50%[12]。J Cordonnier提出了一種利用擺錘與主結構體之間的相對運動來吸收波浪能的裝置SEAREV1，為了減少抨擊、增加穩定性以及降低造價，將初代的扁多面體與棱柱組合改進為凸輪型柱體和類凸輪型柱體[13]。Zhongfei Chen對一種二維船型底和一種錐底圓柱WEC進行了探究[14]，[15]。

本文采用模態分析法研究了一種多自由度內置PTO式WEC的運動特性與功率之間的關系，并從功率、運動幅度、剛度系數、阻尼系數、共振頻率和運動軌跡等方面進行了對比分析，探究了外在形狀對內置PTO式WEC運動特性以及功率的影響，為后續的WEC外形設計提供了指導思路。

1 內置PTO式WEC模型及數學模型

1.1 模型簡介

圖1為內置PTO式波浪能裝置示意圖。

圖1 內置PTO式波浪能裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of the wave energy converter with a built-in PTO

如圖1（a）所示，全局坐標系原點位于水平面，其z軸豎直向上。平面入射波沿著全局坐標系x軸正向傳播。波浪能裝置由4條錨鏈固定，使其保持半浸沒狀態，平衡位置位于水平面處。運動錨鏈被認為是無張緊和無彈的。

如圖1（b）所示，波浪能裝置主要由外殼、內置球和PTO組成。本研究共分析了3種外殼形狀的WEC，即球體、短圓柱和高圓柱，其具體參數見表1。為保證分析結果的準確，這3種形狀的WEC具有相同的排水體積。內置球與兩組在xz平面內正交的彈簧-阻尼PTO相連。由于整個裝置沿xz平面對稱，質量均勻分布，在入射波的激勵下，裝置僅在xz平面內運動，內置球與外殼在垂蕩和橫蕩方向上產生振動，兩者不碰撞。內置球與殼體間的相對運動驅動PTO將機械能轉化為電能。

表1 內置PTO式波浪能裝置的模型參數Table 1 The parameters of the wave energy converter with a built-in PTO

如圖1（b）所示：在WEC中，m1和m2分別為外殼和內置球的質量，kg；θ為系統靜止時橫蕩方向PTO與x軸之間的夾角，（°）；k1和k2分別為垂蕩和橫蕩方向PTO中彈簧的剛度系數，N/m；c1和c2分別為垂蕩和橫蕩方向PTO阻尼器的阻尼系數，N·s/m。

1.2 運動方程的建立及優化

1.2.1 運動方程的建立

在波激力和輻射力作用下，波浪能裝置的運動可由牛頓第二定律描述：

1.2.3 模態分析

模態分析法是工程振動領域中的一種分析方法，用于研究結構動力特性。通過該方法可計算結構特定頻率范圍內在內外振源作用下產生的實際振動響應，有利于后續進行裝置的結構優化。波浪能裝置依靠相對運動產生輸出功率，增大相對運動的幅度能有效提高裝置的輸出功率。固有頻率會影響整個裝置的動力學特性。本文通過Matlab在運動方程的基礎上計算系統4個不同模態的固有頻率，通過固有頻率分析裝置全頻域范圍的運動表現并研究共振頻率下的運動特性。

系統特征值與特征向量滿足以下關系：

2 結果與分析

2.1 水動力學結果

根據勢流理論，WEC在波浪中受到波浪激勵力和輻射力的影響。圖2，3分別描述了3種不同形狀的WEC在垂蕩方向和橫蕩方向上的附加質量、輻射阻尼和波浪激勵力。由圖2可知：由于球體WEC和短圓柱WEC的水線面面積相等，所以兩者的水動力表現更相近；短圓柱WEC的慣性效應明顯，其附加質量高于球體WEC；球體WEC運動時對波面影響更明顯，其輻射阻尼高于短圓柱WEC；高圓柱WEC的水線面面積最小，吃水最深，其附加質量和輻射阻尼均最小；球體WEC和短圓柱WEC的波浪激勵力大小相近，顯著高于高圓柱WEC。由圖3可知，在橫蕩方向上，高圓柱WEC的附加質量、輻射阻尼和波浪激勵力均最高。

圖2 3種不同形狀的波浪能裝置在垂蕩方向上的水動力系數和波浪激勵力Fig.2 The hydrodynamic coefficients and wave excitation force of three investigated shapes in the heave direction

圖3 3種不同形狀的波浪能裝置在橫蕩方向上的水動力系數和波激力Fig.3 The hydrodynamic coefficients and wave excitation force of three investigated shapes in the surge direction

2.2 運動和輸出功率的關系

輸出功率是衡量波浪能裝置工作能力的重要指標。振蕩浮子依靠結構內的相對運動發電，所以WEC的運動幅度可以用浮體相對運動響應幅值算子（Response Amplitude Operator，RAO）和相對速度衡量。本文中，相對RAO為WEC外殼與內置球的振幅差與波高的比，相對速度為WEC外殼與內置球的速度差。

圖4，5分別描述了3種形狀的波浪能裝置在垂蕩和橫蕩方向上的相對RAO和相對速度。

圖4 不同形狀波浪能裝置在垂蕩方向的相對RAO和相對速度Fig.4 Relative RAO and relative velocity of wave energy converters of the investigated shapes in the heave direction

從圖4可見：在垂蕩方向上，短圓柱WEC和球體WEC的相對RAO和相對速度均出現明顯的雙峰現象，且波峰頻率相同，雙峰現象主要是由多體多自由度耦合引起的；相對RAO的低頻峰值高于高頻峰值。低頻峰處的大幅度運動會對輸出功率峰值有顯著影響，而高頻峰處的運動幅度雖然不小，但對輸出功率貢獻很小，僅在輸出功率曲線的高頻處造成微小波動。

圖5中相對RAO曲線的前端橫線和相對速度曲線的前端斜線主要是由于外殼和球體橫蕩方向相對運動幅度差不超過半徑的1/100的運動約束造成的，同時，這一約束也限制了WEC的輸出功率。在短圓柱WEC和球體WEC的輸出功率到達峰值前，其主要受到橫蕩方向運動約束的影響。在低頻處，由于高圓柱WEC在橫蕩方向相對運動的空間更小，所以受到的約束更明顯，在橫蕩方向上吸收的能量較少，影響了輸出功率峰值和能量捕獲寬度。在高頻處，3種形狀WEC的相對RAO曲線和相對速度曲線均有一個微小的波動，但對輸出功率的影響很小。結合圖4，5可以明顯看出，WEC在橫蕩方向的運動幅值高于垂蕩方向，在橫蕩方向吸收的能量比垂蕩方向高，橫蕩方向的波浪能是能量的主要來源，輸出功率曲線的各種特征也主要受橫蕩方向相對運動的影響。

圖5 不同形狀波浪能裝置在橫蕩方向的相對RAO和相對速度Fig.5 Relative RAO and relative velocity of wave energy converters of the investigated shapes in the surge direction

圖6描述了不同形狀波浪能裝置的輸出功率。

圖6 不同形狀波浪能裝置的輸出功率對比Fig.6 Power comparison of wave energy converters of different shapes

從圖6可以看出：高圓柱WEC具有最高的輸出功率峰值，然后依次是短圓柱WEC和球體WEC；輸出功率峰值對應的頻率由低到高依次為高圓柱、短圓柱和球體，差距不明顯。除了輸出功率峰值外，能量捕獲帶寬是衡量WEC工作性能的另一重要指標。能量捕獲帶寬是指浮子吸收功率超過其最大功率的一半時的頻率寬度。從圖6還可以看出，球體WEC和短圓柱WEC的能量捕獲帶寬相似，球體WEC的能量捕獲帶寬稍微比短圓柱WEC寬，這兩種WEC的能量捕獲帶寬約為高圓柱WEC的兩倍。結合功率峰值以及能量捕獲帶寬可知，短圓柱WEC和球體WEC比高圓柱WEC更適合在實際環境中工作。本文設置的WEC更適合在波浪周期為6～11 s的海域中工作。高圓柱WEC和短圓柱WEC的外殼都是圓柱形，外殼的幾何類型相同，但寬高比不同。由高圓柱WEC和短圓柱WEC的輸出功率表現可以看出，在排水量等同的情況下，增加WEC的寬高比雖然會降低輸出功率峰值，提高峰值頻率，但能使能量捕獲寬度變寬，更符合實際工作需求。

2.3 分析及原理

圖7描述了3種形狀WEC由式（10）～（12）優化后得到的剛度系數。從圖7可以看出：在垂蕩方向上，高圓柱WEC的剛度系數顯著高于另外兩種WEC，主要原因是，在特征頻率相似的情況下，高圓柱WEC在垂蕩方向上的附加質量最小；在橫蕩方向上，3種形狀WEC的剛度系數基本一致。3種形狀外殼在橫蕩方向上的固有頻率接近0，內置球質量相等，為了使內置球在橫蕩方向上達到共振，優化結果為PTO系統在橫蕩方向上的剛度系數幾乎相等。同時，由PTO系統在橫蕩和垂蕩方向上的剛度系數與質量之間的關系可知，橫蕩方向剛度系數與垂蕩方向剛度系數呈負相關關系。

圖7 不同形狀波浪能裝置的剛度系數Fig.7 The stiffness coefficients of wave energy converters of the investigated shapes

圖8描述了3種形狀WEC由式（10）～（12）優化后得到的阻尼系數。從圖8（a）可見：阻尼對運動的影響非常明顯，阻尼系數的波谷對應WEC運動幅值的波峰；在垂蕩方向上，高圓柱WEC的阻尼系數高于另外兩種形狀的WEC，這限制了高圓柱WEC除峰值外的運動，導致了能量帶寬變窄。從圖8（b）可見：在橫蕩方向上，3種形狀WEC的阻尼系數差距不明顯；隨著頻率的逐漸增大，阻尼曲線呈先降再升最后再降的變化趨勢，第一個波谷對應的是橫蕩運動的折點；波谷前較高的阻尼值主要是由橫蕩方向的運動約束引起的。由圖8可知，垂蕩方向的阻尼系數比水平方向要高1～2個數量級，這造成了WEC在垂蕩方向的運動幅值小于橫蕩方向的運動幅值。WEC的功率與阻尼呈一次方關系，與運動幅值呈二次方關系，橫蕩運動吸收的能量對功率的貢獻更為顯著。

圖8 不同形狀波浪能裝置的阻尼系數Fig.8 The damping coefficients of wave energy converters of the investigated shapes

固有頻率是結構體的重要特性，對物體的運動有著至關重要的意義。圖9描述了3種形狀WEC在不同來波頻率下的固有頻率（圖中：ωs1為外殼在橫蕩方向的固有頻率；ωs2為內置球在橫蕩方向的固有頻率；ωh1為外殼在垂蕩方向的固有頻率；ωh2為內置球在垂蕩方向的固有頻率）。

圖9 不同形狀波浪能裝置的固有頻率Fig.9 Natural frequencies of wave energy converters of the investigated shapes

從圖9可以看出：3種形狀WEC的ωs2曲線在低頻處均與ωh1曲線相交，在高頻處與ωh2曲線相交；外殼形狀對固有頻率的整體變化趨勢影響不大，但對具體的頻率值有細微影響。結合圖4～6和圖9可以看出，3種形狀WEC在低頻交點處的運動幅值和功率明顯增大并出現峰值，在高頻交點處有微小波峰。這兩個峰的共振模式并不相同，低頻峰是在入射波作用下由內置球橫蕩方向運動與外殼垂蕩方向運動發生共振引起的；高頻峰是在入射波作用下由內置球在橫蕩方向和垂蕩方向發生共振引起的。3種形狀WEC的最終優化結果：讓內置球橫蕩方向的固有頻率與波浪輸入頻率始終保持一致，整個系統以內置球橫蕩方向運動與其他運動的耦合共振為優化方向。這一結論可以為后續內置PTO式WEC的設計提供參考，在進行設計時需著重考慮內部振子以及裝置在橫蕩方向上的運動性能。

為了深入了解WEC在發生共振時的運動狀況，本文選取了共振頻率下的3種形狀WEC作為研究對象，通過分析其運動軌跡來探究規律。在入射波的激勵下，外殼垂蕩運動和內置球橫蕩運動會在WEC的共振頻率下發生共振。圖10～12分別描述了短圓柱WEC、球體WEC和高圓柱WEC在其共振頻率下的運動軌跡和模態。

圖10 短圓柱WEC的運動軌跡和模態Fig.10 Trajectory and mode shape of short cylinder WEC

圖11 球體WEC的運動軌跡和模態Fig.11 Trajectory and mode shape of sphere WEC

圖12 高圓柱WEC的運動軌跡和模態Fig.12 Trajectory and mode shape of tall cylinder WEC

在圖10（a）中：模態1是外殼垂蕩運動主導的，模態2是外殼橫蕩運動主導的；外殼的橫蕩運動和垂蕩運動的振幅較小，總體的吸能效果有限；模態1和模態2之間的相位差為222°，模態1在入射波影響下發生共振，振幅比模態2大；對于共振頻率下的外殼，垂蕩方向的運動對其影響更大。在圖10（b）中：模態3是內置球垂蕩運動主導的，模態4是內置球橫蕩運動主導的；模態3和模態4之間的相位差約為66.2°，模態4在入射波影響下發生共振，幅值約為模態3的2倍；在共振頻率下，內置球受橫蕩方向運動的影響更大。在圖10（c）中：模態1～3代表外殼和內置球在垂蕩方向上的相對運動，而模態2～4代表外殼和內置球在橫蕩方向上的相對運動；模式1～3和模態2～4的相位差接近零，意味著振幅幾乎沿x和z軸振蕩；垂蕩和橫蕩方向的運動幾乎同時達到峰值和谷值，由于橫蕩方向的運動幅值遠大于垂蕩方向，相對運動的橢圓形軌跡的縱橫比相當高，吸收能量的效果有限。由于WEC依靠外殼和內置球之間的相對運動發電，所以相對運動的軌跡決定著WEC的效率。

結合圖10，11可以看出，球體WEC和短圓柱WEC的運動軌跡基本一致。結合圖10～12可以看出：高圓柱WEC的外殼和內置球在垂蕩方向的運動幅度大于球體WEC和短圓柱WEC；高圓柱WEC的內置球的運動軌跡接近圓形，這表明內置球在共振頻率下有較好的運動表現；高圓柱WEC的外殼和內置球的相對運動軌跡整體呈現扁橢圓形，軌跡形狀略優于球體WEC和短圓柱WEC，但幅值比前兩者小，運動表現沒有明顯優勢。從3種形狀WEC的運動表現可總結出，內置PTO式WEC整體的吸收效果有待提高。短圓柱WEC在橫蕩方向上的運動振幅遠高于垂蕩方向，可以將該類裝置應用于橫蕩方向能吸收更多波能的場景。在設計短圓柱WEC時，考慮到其他頻率的運動表現，應該在橫蕩方向上設置更小的運動約束以達到更好的功率輸出效果。

3 結論

本文基于模態分析法探究了一種多自由度內置PTO式波浪能裝置的運動特性和輸出功率之間的關系，為后續形狀優化提供指導思想。本文選取了球體、短圓柱和高圓柱3種形狀的外殼，在勢流理論的基礎上建立WEC的四自由度頻域模型并進行優化，求解WEC在不同頻率范圍內的輸出功率、相對RAO、相對速度、剛度系數、阻尼系數、固有頻率以及運動軌跡。通過分析可以得出以下結論。

①短圓柱WEC和球體WEC的輸出功率峰值比高圓柱WEC低，但是能量捕獲帶寬比高圓柱WEC寬約一倍，更適合在真實海況中工作；適當加大WEC外殼的寬高比有利于增大能量捕獲帶寬，吸收更多能量。

②對于短圓柱WEC，其橫蕩方向運動對輸出功率的影響比垂蕩方向運動更顯著。在設計短圓柱WEC時，可著重考慮其在橫蕩方向的運動性能。

③內置PTO式WEC的優化結果：內置球橫蕩運動的固有頻率與入射波頻率始終一致，以內置球橫蕩運動與其他運動的共振為優化方向。內置PTO式WEC有兩種不同的共振模式，低頻時內置球橫蕩方向運動與外殼垂蕩方向運動的共振是造成運動幅值和輸出功率峰值的主要原因。3種外殼形狀對系統的共振模式影響不大，但對具體的頻率值有細微影響。