一題多解在初中數學教學中的應用

山東省鄒平市梁鄒實驗初級中學 張婷麗

一題多解指采用不同的解法解答同一道習題。初中數學教學開展一題多解教學活動時既要做好相關習題的篩選，又要根據例題的難易程度給學生預留一定的時間，鼓勵學生思考、討論，激活初中數學課堂教學，使學生在活潑愉悅的氛圍中，找到更簡便的解題方法。

一、用于比較分式大小

比較分數大小是初中數學中一類非常重要的題型。常用的解題思路有三種：第一種，將兩個分數作差，比較差與0的大小；第二種，將兩個分式做商，比較商與1的大小；第三種，選取一個中間的分式，以中間的分式為媒介進行比較。

A.M＜N B.M＞N C.M=N D.不確定

解法一：作差法

解法二：特殊值法

兩種方法都能選擇出正確答案。第一種方法為傳統方法，比較容易想到，但是計算稍微復雜。第二種方法通過簡單的計算便可得出正確答案，需要學生具備靈活的思維。

二、用于解答絕對值方程

解一元一次方程是學生必須掌握的一個基本知識。初中數學部分一元一次方程的習題中帶有絕對值，難度較大。該類習題的解題思路并不唯一。在教學中為了更好地拓展學生的視野，使學生能具體問題具體分析，選擇高效的解題方法，提高解題效率，教師應運用一題多解給學生帶來解題啟發。

例：解方程｜2x＋19｜=7x＋31

解法一：分類討論

解法二：對比分析法

解法一是學生非常容易想到的解題思路，先分類討論，而后對方程的解進行合理的取舍，相對來說計算較為復雜。解法二通過觀察給出的方程，巧妙地加以切入，有效避免了分類討論，解題效率明顯提高。教師在教學中要引導學生多注重應用解法二解題。

三、用于證明幾何問題

幾何證明題常出現在初中數學各類測試中的大題中，占有較高的分值。該類習題的解題思路多種多樣，常用到知識點有全等三角形、相似三角形等。在初中數學教學中為使學生掌握幾何證明問題的相關思路，教師應結合具體的習題，鼓勵學生不滿足于一種解法，注重一題多解，更好地拓展學生的思維與解題能力。

例：如圖1所示，等腰△ABC中，AB=AC，P是底邊BC上的任意一點，過點P分別作AB，AC的垂線，垂足為點D、點E，過點B作AC的垂線，垂足為點F。求證：PD＋PE=BF。

圖1

證法一：三角形全等法

過點P作BF的垂線，垂足為點H（見圖2）。因為BF⊥AC，PE⊥AC，則四邊形HPEF為矩形，所以HF=PE。又HP∥FE，所以∠C=∠HPB，而在△ABC中AB=AC，所以∠C=∠ABC，所以∠ABC=∠HPB。又∠BDP=∠PHB=90°，BP=PB，所以△BHP≌△PDB，所以BH=PD，而BH＋HF=BF，所以PD＋PE=BF，得證。

圖2

證法二：面積法

圖3

證法一雖然涉及的知識點較多，但學生非常容易想到，在教學中要求學生掌握該種方法。證法二雖然較為簡單，但是不容易想到，教學中應多給予學生引導，使其在以后的證明中嘗試著應用。

四、用于突破拋物線難題

拋物線難題常出現在壓軸題中。教師在教學中為提高學生解答該類習題的自信心，應結合具體的習題進行一題多解，為學生剖析不同解題方法的解題思路，進一步提高學生認識，使其把握解題的關鍵。

圖4

解法一：割補法

解法二：平行線法

圖5

第一種解題方法較為簡單，但是不容易想到。第二種解題方法難度較大，應用的知識點較多，對學生的綜合能力要求較高。教師在教學中要求學生根據自身的實際情況，掌握其中一種解題方法即可。

五、結語

初中數學教學中為提高學生的一題多解意識，更好地鍛煉學生的思維與解題能力，應結合學生實際選擇由易到難的習題，循序漸進，為學生展示不同習題的多種解法，拓展學生視野，使其能夠結合自身的實際情況加以掌握、應用。