遵循學生的學習歷程，讓思維“發聲”

北京十五中 鄭毅斌 黃思祺

一、問題的提出

20世紀上半葉，就出現了數學思維。國外數學思維的研究，在理論層面比較有代表性的人物是斯托利亞爾、弗賴登塔爾、奧加涅相等，在實踐層面比較有代表性的人物是波利亞、克萊因、道爾等。我國早在春秋戰國時代就已經有了提高受教育者思維能力的意識，孔子就是代表人物。目前數學教育同時擔負了傳授學生知識與培養學生思維能力兩項重任。在這樣的情況下，我國數學教育工作者也一直在尋找如何最大限度提高學生思維能力的方法。

二、問題的研究

（一）理論研究

1.什么是思維

通常意義上的思維，涉及所有的認知或智力活動。它探索與發現事物的內部本質聯系和規律性，是認識過程的高級階段，是人腦對客觀事物間接、概括的反映。

2.思維的特征是什么

思維具有間接性和概括性的特點。間接性是指不是直接通過感覺器官而是通過其他媒介來認識客觀事物。概括性則表現在思維反映的是同一類事物共同的、本質的屬性以及事物的內部聯系和規律。當然，思維還有一個特征就是具有內隱性，不易被發現、不易被察覺，有了問題也不易被糾正。

3.如何在課堂上進行思維養成

“思維養成”是指通過有效的課堂構建和教學方式設計，啟發學生思考，形成具有延續性和持續性思維方式。余文森指出，有效課堂是指創造課堂的高效益，這要求作為教育主體之一的教師，從課堂教學的基本要素和基本環節入手，創設和生成有價值的情境和問題是提升課堂教學有效性的前提。

（二）實踐研究

1.設計案例

下面以高中數學課程中非常經典的一節課《函數單調性》為例，設計一節關注學生思維養成的一堂課。以下為教學實錄及設計意圖說明。

環節1 概念引入

問題1：在初中是怎樣描述函數變化趨勢的？以二次函數y=x2為例說明。

【預設學生活動】學生回顧初中知識，結合函數圖像作答。

設計意圖：讓學生從已有認知基礎出發，回顧從“形”到“數”、從圖形語言到文字語言的轉化過程。

【預設學生活動】學生在平面直角坐標系中利用描點法作圖，再從圖像上讀取該函數的變化趨勢，但由于取點的不同，一部分學生會忽略掉（0，1）區間上的點，從而導致信息讀取錯誤或不完整，具體如圖1所示。

圖1 描點法作圖

追問1：通過手工描點得到的圖像準確嗎？．

追問2：能否直接從解析式出發判斷函數的變化趨勢？

設計意圖：這里的設計是為了通過作圖讓學生思維第一次發“聲”，暴露思維中的錯誤和不嚴謹之處，再從不同的聲音中引發認知沖突，讓學生體會在高中階段從代數角度再次研究單調性的意義所在，及用代數方法研究函數單調性的必要性。

環節2 概念形成

問題3：如何用符號語言描述函數的變化趨勢？

問題3．1：如何用符號語言描述在［1，＋∞）區間上，f（x）隨x的增大而增大？

【預設學生活動】學生交流討論，第一次得到符號表述

追問1：什么叫x增大，一個變量能表示增大嗎？

追問2：存在兩組就行，存在無數組，任意兩組都滿足才行？

【預設學生活動】學生在剛才的基礎上進一步修正完善表述方式，第二次得到符號表述

設計意圖：對高一學生來說，直接得到單調性符號語言的準確闡述無疑是困難的，因為學生沒有類似的經驗，所以這里設置子問題搭設臺階，引導學生逐字逐句地將文字語言轉化為嚴謹的數學符號語言，這里是學生思維的第二次發“聲”。

追問1：請嘗試用符號語言給出函數y=f（x）在區間I上單調遞增的定義

追問2：類比增函數的定義，試著給出減函數的定義

【預設學生活動】學生交流討論，建構定義，并將自己給出的定義與教材中的定義進行比較、修正

設計意圖：這里是學生思維的第三次發“聲”，在理解特殊函數單調性符號語言闡述的基礎上，將其推廣到一般函數中，并借此滲透從特殊到一般的轉化思想，再通過類比思想由增函數定義得到減函數定義。

在上面概念形成的整個過程中，充分體現了學生的主體地位，在自主建構定義的過程中培養學生的數學抽象素養，培養了數學直覺思維和形象思維。

環節3 概念辨析

問題4：判斷下列命題的真假，并說明理由。

①設函數y=f（x）的定義域為R，若f（1）＜f（3），則函數f（x）在［1，3］上為增函數。

②若函數f（x）在區間［1，2］和（2，3］上均為增函數，則函數f（x）在區間［1，3］上為增函數。

【預設學生活動】先獨立思考，并將自己的答案和想法記錄下來，再與同組同學交流討論，選定代表上臺通過實物投影展示本組成果。雖然此處剛剛學習完單調性的代數定義，但學生還是會更多地選擇先從圖像角度入手來舉反例。

設計意圖：再一次引導學生由“形”到“數”加深對函數單調性概念的理解，尤其讓學生體會單調性定義中“任意”的必要性，通過兩個具體的例子將其對“任意”的理解發“聲”出來。

環節4 概念應用

【預設學生活動】學生上黑板板演過程，并向全體同學闡述自己的思路和想法

設計意圖：學生思維的第四次發“聲”，回扣課堂開始時提出的問題，并由此例引導學生發現并總結用定義證明函數單調性的一般步驟，培養學生數學邏輯思維。

環節5 目標檢測

問題5：試用函數單調性的定義證明下列函數的單調性。

設計意圖：① ③是三個特殊的一次函數、二次函數、反比例函數，這些函數都是學生在初中從圖像角度研究過單調性的函數，但缺少嚴謹的代數證明，放在這里既可以作為單調性定義應用的練習，同時還可以彌補初中對單調性研究的缺憾；④是一個對學生來說陌生的函數，對④的研究相當于對一個一般函數單調性研究方法和思路的重現，可以讓學生再次體會如何從“數”的角度判斷函數單調性。這里可以布置為學生的課后作業，讓學生的思維發“聲”從課上延續到課下。

2.設計點評

目前教育要大力培養學生的核心素養，直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算和數據分析，這些基本素養正是數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現。讓學生在課堂教學中展示出來，這樣合理的高中數學教學情境創設，對提高學生的核心素養是很有必要的，同時合理的情境也能充分展示知識的形成過程，展示學生的思維過程，讓他的思維發生，讓思維發“聲”。

本節課在教學過程中數學情境包括現實情境、純數學情境和科學情境。教師搭設合理的情境，讓學生更深刻地意識到數學情境可以幫助他們去理解新知識，從而讓學生更加深刻地認識知識的內涵。

“概念的引入”的情境創設基于幾個原因：一是從學生認知的簡單函數模型入手，回顧已學的知識，動手操作解決新的問題，既增加了學生的學習動機，讓學生對知識更感興趣，也為學生提供了合作性學習的機會，為學生提供一個探究學習的平臺；二是啟發學生思維，培養學生創新能力。這個情境的搭設主要是以學生的學為主體，讓他們把思維徹底展現出來，使教師更好地理解他們的認知過程。搭設合理的臺階，幫助他們更好地認識知識。思維外顯化通過學生的語言表達，展示學生的思維歷程，通過學生的抽象概括，學生的互相傾聽交流，得到相關的結論。

“概念辨析”為學生提供了一個充分表達自我想法的環節，讓學生互相交流討論，給學生機會互相傾聽同伴的意見，汲取合理因素，整理出相對正確的數學結論。交流就需要學生用數學語言來表述自己的思路和想法，那么思維勢必要先“發生”，然后再“發聲”。思維外顯化凸顯學生解決問題的過程，對教師把控課堂的教學進度很有必要。

“概念形成”教師適時引導，學生自主建構相結合的半開放性探究教學，為學生搭設臺階，讓學生發現其中的關鍵點，運用自己的語言描述相關的概念，雖然不是很成熟的表達，但是合理表達能讓教師體會到學生的想法，更好地指導，同時也讓學生經歷了探索的過程，不是將概念硬塞給他。學生掌握知識有一個循序漸進的過程，對知識的認知不是停留在死記硬背上，對知識的理解就更深刻。

正是這樣一節節探究課的實施，學生在課堂教學過程中，充分發揮了主體地位，全程參與到知識的理解掌握過程中，能從中感悟到數學知識的實質性內容，領會到其中所蘊含的數學素養，使數學思維得到鍛煉，將思維通過語言表述出來，進而與教師和同伴分享思維過程，對促進學生全面發展，提高核心素養起到積極的作用。

三、思考與展望

數學家柯朗指出：“今天，數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機。數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。教師、學生和一般受過教育的人都要求有一個建設性的改造，其目的是要真正理解數學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎。”高中數學課程以立德樹人為根本任務，要求培養學生的科學精神和創新意識，而這一過程往往會隨著學生所處時代背景和思維方式的轉變而發生變化，固守的經驗主義收效甚微。

學習數學的本質是讓學生思維本質得到提升，那么如何調動學生，讓學生思維發“聲”是教師每節課前要思考的問題。教師有時認為學習數學關鍵是解題方法，但是如果強行給出方法，讓學生套用，學生就變成了解題的機器，而問題其中的精髓學生沒有悟到。設置問題鏈，給學生提供思維發“聲”的借力點，學生的思維慢慢展開，逐步深入，可極大地提升學生對思維的認識，也使學生對知識掌握的更通透，更明了。

借用一位特級教師的話：“思維是一種力量！因為只有思維才最接近數學學習的本質；只有思維，才能讓我們變得越來越聰明、智慧！”這也正是數學教學應該培養學生所具備的品質。