細觀等效理論預測再生混凝土宏觀力學參數*

陳海玉， 徐福衛

（湖北文理學院 土木工程與建筑學院，湖北 襄陽 441053）

引 言

再生混凝土（recycled aggregate concrete, RAC）由水泥、砂子、原生骨料（aggregate, AG）及再生骨料（recycled aggregate，RAG）通過水化反應膠凝而成，相較于普通混凝土，其孔隙、微裂縫及裂紋體積分數明顯增加[1].從細觀層次看，普通混凝土可看成由原生骨料、界面過渡區和水泥砂漿組成的三相復合材料[2]；再生骨料表面附著有老水泥砂漿，因此從里到外，再生混凝土可以看作是由原生骨料、老界面層（old ITZ，OI）、老水泥砂漿（old cement mortar, OCM）、新界面層（new ITZ，NI）和新水泥砂漿（new cement mortar, NCM）[3]組成的五相復合材料.若將老界面層、老水泥砂漿和新界面層合成一個界面過渡區（interfacial transition zone，ITZ），再生混凝土亦可以看成是由原生骨料、界面過渡區和新水泥砂漿組成的三相復合材料.再生混凝土的界面過渡區和新水泥砂漿中含有較多的孔隙、微裂縫和裂紋，再生混凝土又可看成由原生骨料、界面過渡區、新水泥砂漿和孔隙組成的四相復合材料.

針對再生混凝土的宏觀力學性能，國內外學者開展了眾多的研究，取得了豐富的成果[4-9]，文獻[10]在進行細觀數值分析時將再生混凝土分成了原生骨料、界面過渡區和新水泥砂漿，但沒有從細觀組分的角度分析各組分對再生混凝土宏觀力學參數的影響.根據復合材料中單個材料組分的性能和相對數量預測復合材料有效宏觀力學參數，是進行復合材料力學分析的基本問題[11].預測復合材料的宏觀力學參數最理想的方法是選擇具有代表意義的典型體積單元進行應力和變形分析[12]，通過應力應變關系可以得到比較理想的結果.1889年和1929年，Voigt[13]和Reuss[14]分別提出了并聯和串聯彈模等效模型，這兩種模型被廣泛用于復合材料宏觀力學參數的預測.后來自一致性方法[15]、田中音步方法[16]、最終估計方法[17]和PFM方法[18]等許多經典的均質化方法相繼被提出，應用于非均質材料有效宏觀力學參數的預測.1993年，Huang和Gibson[19]提出了一種用空心球分析復合材料有效彈模的數學方法.Paul[20]采用最小勢能和最小余能原理得到了各向同性材料的彈性常數的上限和下限.Zimmerman等[21]和Yaman等[22]采用K-T模型研究了孔隙率對水泥砂漿彈性參數的影響，并將實驗觀察結果與理論結果進行了比較.Sanahuja等[23]將無序介質進行均化，利用勻質理論預測了水泥砂漿有效彈性模量的演變.李天一等[24]采用圖像數字技術獲得了混凝土試件內部細觀結構，數值分析了骨料的形態、分布和體分比對混凝土強度的影響.陳青青等[25]采用入侵判定算法建立了含孔隙的混凝土細觀模型.以上細觀力學方法和模型采用不同的有效介質，近似考慮了夾雜物之間的彈性相互作用以預測復合材料的彈性參數，卻忽略了各彈性參數之間的聯系，預測的彈性參數也不夠理想.

研究再生混凝土各細觀組分對再生混凝土宏觀力學參數的影響，對再生混凝土的數值仿真和配合比的設計具有重要意義.如何定量描述各組分（相）對再生混凝土宏觀力學參數的影響，以及如何確定再生骨料摻量和孔隙率與再生混凝土宏觀力學性能之間的定量關系等，還沒有明確的結論.為了研究再生混凝土各組分、各相對其宏觀力學參數的影響，本文假設再生骨料都是圓形或球形骨料，建立空心圓柱或空心球模型，利用扭轉變形原理、細觀等效理論和應力應變關系，推導了再生混凝土宏觀等效力學參數的預測模型.

1 再生混凝土宏觀等效力學參數推導

1.1 再生混凝土界面過渡區宏觀等效力學參數

再生混凝土界面過渡區由老界面層、老水泥砂漿和新界面層三個層次組成.老界面層、老水泥砂漿和新界面層三者的各項材料性能比較接近，都具有較高的孔隙率，Poisson比十分接近，而這三個層次的材料從骨料表面依次黏結，從力學模型分析，符合Reuss串聯模型，因此按照串聯模型進行界面過渡區等效Poisson比

式中，fOI，fOM，fNI和 μOI，μOCM，μNI分別為老界面層、老水泥砂漿和新界面層的體分比和Poisson比.

為了求解界面過渡區的等效剪切模量，建立空心圓柱等效模型，將組成界面過渡區的三層組份看成是空心圓柱的三層圓環，如圖1所示.

圖1 界面過渡區空心圓柱等效模型Fig.1 The equivalent model for the hollow cylinder in the interfacial transition zone

根據肖建莊等[10]的研究結果，由不同強度廢棄混凝土生產的再生骨料，老水泥砂漿的含量為40%左右.圖1中的再生骨料中原生骨料粒徑（RAG）為5 ～ 25 mm、老界面層厚度為50 μm，折算后不同骨料外面包裹的老水泥砂漿厚度為1.10 mm左右，新界面層厚度為50 μm.

假定空心圓柱在外力偶作用下各層之間無相對滑動，各層共同承擔扭轉力矩(式(3))，且扭轉變形時具有相同的相對扭轉角(式(4))，因此，借助扭轉變形理論，空心圓柱各層組分的極慣性矩可以表述成下述形式(式(5))：

式中，T為界面過渡區整體和每層的扭矩；I為界面過渡區整體和每層的極慣性矩；G為 界面過渡區整體和每層的剪切模量；R為每層的內外半徑.

由式（3）和（4）可求得等效界面過渡區的剪切模量

將式（5）代入式（6），求得剪切模量的具體表達式：

因此，老界面層、老水泥砂漿和新界面層組成的三層介質等效成一層厚度均勻的界面過渡區(如圖2)，可以定量分析界面過渡區的宏觀力學參數.

圖2 界面過渡區均化等效示意圖Fig.2 The homogenized equivalent schematic diagram of the interfacial transition zone

1.2 混凝土粗骨料的宏觀等效力學參數

再生混凝土含有兩類骨料，一類是再生骨料，一類是普通骨料.再生骨料是由原生骨料和界面過渡區（包含老界面層、老水泥砂漿和新界面層）組成，普通骨料由原生骨料和新界面層組成.建立由原生骨料為內層，界面過渡區（界面過渡層）為外層的骨料空心圓柱等效模型（如圖3），假設骨料處于彈性狀態下，內外層在外力偶矩的作用下具有相同的相對扭轉角，從而求得再生粗骨料和普通骨料的等效剪切模量：

圖3 骨料實心圓柱等效模型Fig.3 The equivalent model for the solid cylinder of recycled aggregates

界面過渡區包裹在原生骨料外面，受力過程符合Reuss的串聯彈模等效模型.再生骨料四周承受水泥砂漿傳來的應力，忽略各組分材料的橫向變形，建立再生混凝土骨料橫向串聯彈模等效模型，因此再生骨料和普通骨料的等效Poisson比分別如式（12a）和（13a）所示：

再生骨料按照一定比例摻入原生骨料，與水泥、砂、水、添加料等拌和制備成再生混凝土，再生粗骨料和普通骨料的受力過程符合Voigt并聯模型，可求解再生混凝土骨料的等效彈模和體積模量：

同理，可求得Poisson比和剪切模量：

骨料良好的級配有利于降低混凝土的孔隙率，根據混凝土用途的不同，對混凝土的級配要求也不一樣.混凝土骨料都是由不同粒徑的骨料按照一定的比例進行配置而成的，Walraven等[26]對Fuller提出的最大密度曲線理論進行了進一步優化，給出了不同粒徑骨料累計體分比：

式中，代 表最大粒徑骨料的半徑值，Pr代表骨料半徑小于r0的累計體分比，Pk一 般取0.75.對式（16）微分，可以得到不同粒徑骨料在整個骨料中的體分比：

將體分比進行變換，可得到不同粒徑骨料顆粒的占比：

式中，rmax，rmin分別為骨料的最大和最小半徑.

應用統計學的理論可求得粗骨料的平均半徑：

得到了混凝土骨料的平均粒徑，則可求解得到混凝土骨料的平均粒徑的Poisson比彈性模量剪切模量和體積模量

1.3 再生混凝土等效力學參數的求解

上述推導過程將界面過渡區與原生骨料等效成了再生骨料，此時可將再生混凝土看成再生骨料與新水泥砂漿組成的兩相復合材料，再建立實心圓柱橫向串聯模型，可求解相應的剪切模量和Poisson比，從而求解再生混凝土等效的體積模量和彈性模量：

式中，GRAC， μRAC，ERAC和KRAC分別為再生混凝土等效基材的剪切模量、Poisson比、彈性模量和體積模量；GNCM，IPNCM分別為新水泥砂漿的剪切模量和極慣性矩；fNCM分別為再生混凝土骨料和新水泥砂漿的體分比.

1.4 多孔再生混凝土宏觀等效力學參數

再生混凝土的宏觀力學參數是混凝土整體宏觀變形特性的反映.與應力分布和應力集中相反，等效模量對基體中小區域的局部幾何量和物理量的變化不敏感.等效彈性模量和 體積模量可以通過平均法求得.為了獲得再生混凝土的等效力學參數，假設再生混凝土由再生混凝土基材和孔隙兩相材料組成，建立多孔再生混凝土簡化模型（如圖4所示）.根據M-T模型的均化思想，建立由一個單一的復合球體包含嵌入無限力學性能未知介質的三相球分析模型，再生混凝土基體設為基質材料，即Ωm區域，它的彈性常數用下標m表示，基材內部區域Ωp表示微裂紋或氣孔，基材嵌入其外部等效均勻無限延伸Ωeq的區域，空心彈性球的內外半徑分別為a和b.

圖4 多孔水泥砂漿簡化模型Fig.4 The simplified model for porous cement mortar

將三相球中的孔隙夾雜視為體積和剪切模量可忽略的固體材料.圖5為外施均勻拉伸載荷F作用下的空心球分析模型，其中水泥砂漿基體為各向同性、均勻性和彈性.因此，在宏觀尺度上，多孔水泥砂漿可以看作是準均質和準各向同性的.

圖5 空心球模型圖Fig.5 The hollow ball model

從彈性空心球中取出一個六面體微單元，其應力狀態如圖6所示.在圖中， σr為徑向應力， σθ為環向應力，Kr表示輻射體的力量.由于幾何形狀和載荷作用均是對稱的，微單元內不產生剪切應力.三相球的受力屬于軸對稱力學問題，忽略體力影響，在球極坐標系統下的偏微分方程為

圖6 微單元的應力狀態Fig.6 The stress state of the microelement

式中，ur表示球的徑向位移.

球對稱問題只有徑向位移，其只與半徑r有關，與φ 和 θ無關.因此根據微分方程的求解、空間幾何關系和物理關系，可得位移分量和應力分量：

式中，A，B為待定系數.

引入球內外邊界條件：

將式（28）、（29）的邊界條件代入式（22），可得

式中，P為孔隙率，在三相球模型中，P=a3/b3.

等效剪切模量可通過建立孔隙和再生混凝土基材組成的兩相空心圓柱等效模型求解，如圖7所示.

圖7 再生混凝土空心圓柱等效模型：（a）空心圓柱模型；（b）等效模型Fig.7 The equivalent model for the recycled concrete hollow cylinder: （a）the hollow cylinder model; （b）the equivalent model

由于孔隙不承擔扭轉荷載，整個截面的極慣性矩也就等于空心圓環的極慣性矩，從而得到整個截面的等效剪切模量：

式中，為 多孔再生混凝土的等效剪切模量，β0為空心圓柱的內外徑之比.

孔隙所占據的體積相當于圓柱的內部空心圓柱，由于是空心圓柱等效模型，內部空心圓柱與整個圓環的體分比也就是橫截面上的面積比，可得P=a2/b2，從而求得新水泥砂漿的等效剪切模量：

2 算例分析

為了驗證以上細觀等效方法的有效性，我們將預測結果與相關試驗結果進行對比.現有相關實驗研究主要集中在再生骨料取代率對再生混凝土力學參數的結果，肖建莊等[10]的研究結果表明再生骨料表面附著老水泥砂漿的質量占整個再生骨料的40.4%～45%，因此先要理清再生骨料取代率對再生混凝土孔隙率的影響.文獻[27-29]的研究結果表明，隨著再生骨料取代率的增加，再生混凝土中水泥砂漿的含量不斷增加，其孔隙率也隨之增加，如圖8所示.再生混凝土總孔隙率隨著再生骨料的增加由 9.8%增至 22.5%，是普通混凝土的2.29倍.對文獻[25-27]的試驗研究數據進行回歸分析，得到如式（35）所示的再生骨料取代率與再生混凝土孔隙率的關系式，從而可以定量分析再生骨料的取代率對再生混凝土孔隙率的影響：

圖8 再生骨料取代率對再生混凝土孔隙率的影響Fig.8 Effects of the recycled aggregate replacement rate on the recycled aggregate concrete porosity

式中，P為再生混凝土孔隙率；η為再生骨料取代率.

根據文獻[10, 30-31]的研究結果，考慮到再生骨料表面附著老水泥砂漿的質量占整個再生骨料的40.4%～45%，本文假定再生粗骨料中老砂漿的質量占比42%，并根據體積密度關系將質量比換算成體分比，具體見表1.

表1 再生混凝土各組分材料參數表Table 1 Material parameters of recycled aggregate concrete

Yaman和Hearn等[22,32]利用實驗得到了某普通高強混凝土不同孔隙率下的彈性模量.王海龍等[33]采用夾雜理論和M-T均化等效思想預測了不同孔隙率下等效彈性模量.文獻[34-35]的試驗研究結果表明，隨著再生骨料取代率的增加，再生混凝土的彈性模量也隨之降低.Ravindrarajah等[36]、周靜海等[37]和宋燦等[5]的研究結果都發現了相似的現象.對上述研究結果的數據進行分析，與本文的預測結果進行對比，可以看出，試驗研究結果與預測結果之間還是比較吻合的，試驗結果的趨勢線與預測曲線的吻合度還是較好的（如圖9和圖10所示），說明本理論預測方法和結果是有效的.實驗數據的趨勢線與預測曲線確實還存在一定的差異，可能是由于收集的研究結果數據量不夠大的原因所致.圖11顯示了再生骨料取代率對再生混凝土Poisson比的影響，圖12顯示了孔隙率對再生混凝土的彈性模量與剪切模量影響趨勢，也就是隨著再生骨料取代率的增加，再生混凝土中水泥砂漿的含量也不斷增加，孔隙率不斷增加，再生混凝土的Poisson比隨之不斷增加，剪切模量和體積模量的都在不斷降低，其主要原因是孔隙率存在于水泥砂漿中，孔隙的增加相應地就減少了水泥砂漿的含量，從而削弱了再生混凝土的力學性能.

圖9 等效彈性模量的預測結果與相關文獻數據對比情況Fig.9 Prediction results of the effective elastic modulus and experimental results from relevant literatures

圖10 等效剪切模量的預測結果與相關文獻數據對比情況Fig.10 Prediction results of the effective shear modulus and experimental results from relevant literature

圖11 再生取代率對再生混凝土等效Poisson比的影響Fig.11 Effects of the recycled aggregate replacement rate on effective Poisson’s ratio of the recycled aggregate concrete

圖12 孔隙率對再生混凝土等效剪切模量和體積模量的影響Fig.12 Effects of the porosity on the effective shear modulus and volume modulus of the recycled aggregate concrete

3 結 論

本文證明了利用扭轉變形原理、串并聯模型以及M-T模型的方法進行再生混凝土的彈性參數的等效預測是可行的.該方法相對比較簡單，物理意義明確，為再生混凝土宏觀力學參數的預測提供了一條簡單實用的新方法，有利于再生混凝土基本力學性能的研究分析.

再生骨料由于自身的弱點，摻入天然骨料中制備再生混凝土，隨著再生骨料取代率的增加，再生混凝土的水泥砂漿的含量也不斷增加，其孔隙率也隨之增加，從而影響再生混凝土的Poisson比不斷增加，彈性模量、剪切模量和體積模量不斷減少.模型的預測結果較好地反映了再生混凝土宏觀力學參數隨再生骨料取代率的增加不斷變化的這一變化趨勢.

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