如何求解排列組合問題

丁軍

排列組合問題有很多，常見的有平均分組問題、不平均分組問題、相鄰問題、不相鄰問題等.排列組合問題中往往會涉及多種排列、組合的情形，很多同學經常會出現考慮問題不全面、分類標準不一致、遺漏某些情況等問題.究其根本原因是沒有明確問題的本質，選用的方法不合適.對此，筆者對下列兩類排列組合問題及其解法進行了深入的分析、總結.

一、分組問題

分組問題包括平均分組問題和不平均分組問題，其區別在于各組的元素個數是否相等.

1.不平均分組問題

有些問題要求將幾個元素進行分組，且每組元素的個數不相同，此類問題稱為不平均分組問題.由于分組后各個組之間存在差異，所以在解題時，不需要對分組后的順序進行排列.解答不平均分組問題，只需先根據題意進行分組，即從所有元素中選出幾個元素進行分組即可.

例1.將不同品牌的6瓶礦泉水分為3堆，分別為3瓶、2瓶和1瓶，請問一共有多少種分法.

分析：本題是不平均分組問題，要求將6瓶礦泉水分別分為3瓶、2瓶、1瓶三組，對于分組后的排列順序沒有要求，因此只需重點關注分組的情況.

解：從6瓶水里面任意選出3瓶，將其作為一堆，有c：種分法，從剩下的3瓶水中任意選出2瓶，將其作為第二堆，有c;種分法，剩下的1瓶水為一堆.根據分步計數原理可得一共有：C3C2C：=60種分法.

2.平均分組問題

平均分組問題是指將所有元素平均分配到各個組，分組后，每一組元素的個數均相同，若元素相同，那么各個組之間就沒有差別，會出現重復分組的情況，需進行消序，將所求的結果除以組數的全排列數.

例2.將不同品牌的6瓶礦泉水平均分成3份，一共有多少種分配方法.

分析：本題屬于平均分組問題，題目對分組后各組之間的排列順序沒有要求，分別計算平均分組后元素的分配情況即可.

二、相鄰問題

元素相鄰問題是指要求某些元素必須相鄰排列的問題，通常采用捆綁法求解.運用捆綁法解題，需將相鄰的元素看作一個整體，將其視為一個“大元素”，將其與沒有要求的元素一起排列，然后再排列“大元素”內部元素的順序.

例3.將2本藝術類，3本醫學類，4本實驗類書籍放在一個書架上，要求同類的書籍必須排放在一起，一共有多少種放法？

分析：可將2本藝術類、3本醫學類、4本實驗類書籍看作相鄰的元素，采用捆綁法求解.先將三類書籍分別看作一個整體進行排列，然后排列三類書籍內部書的順序即可.

解：將2本藝術類、3本醫學類、4本實驗類書籍分別看作一個整體進行排列，有A3=6種放法;

2本藝術類書籍全排，有A2種放法;3本醫學類書籍全排，有A3種放法;4本實驗類書籍全排，有A：種放法：

由分步計數原理可得一共有A3×A3×A2×A4= 1728種放法.

例4.從單詞“equation”中選取5個不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有____種.

解：因為“qu”必須取出，所以另外3個字母需從剩下的6個字母中取出，有c6種取法.因為要求“qu”相連，所以采用捆綁法，在排列時將“qu”視為一個元素與其它3個字母進行排列，有A4種排法.因為“qu”的排列順序不變，所以不需要再對“qu”的順序進行排列.綜合上述分析可知，一共有：C6-A4=480種排法.

要求“qu”相連，須采用捆綁法，將其捆綁看作一個整體進行排列.解答本題需分兩步：第一步要先取出5個元素，第二步將5個元素進行排列，所以需運用分步計數原理求解.

總之，解答排列組合問題，需首先仔細分析題意，明晰問題中對元素的要求，如平均分組、不平均分組、元素相鄰等，還需明確完成排列組合，需要分步進行，還是分類進行，并全面考慮到每一種可能出現的情形，然后靈活運用分類、分步計數原理進行求解.

（作者單位：江蘇省淮安中學）