由一道高考題引發(fā)的思考

吳天德

解析幾何一直是歷年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.解析幾何中的取值范圍問題在高考試題中比較常見.這類問題往往對(duì)同學(xué)們的分析能力和運(yùn)算能力有較高要求.本文主要探討了2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）選擇題的第11題的解法.

題目給出的條件較少，要解答本題，需仔細(xì)研究橢圓的性質(zhì)以及關(guān)系式IPB1≤2b，根據(jù)橢圓的定義、方程、圖形來尋找解題的思路.

思路一：利用函數(shù)的性質(zhì)

圓錐曲線中的取值范圍問題在本質(zhì)上是求目標(biāo)式的取值范圍.在求得目標(biāo)式后，我們可將問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)式的最值，通過研究函數(shù)的解析式及其性質(zhì)，便可利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性來求得目標(biāo)式的取值范圍.解答本題，需先將IPB1≤2b轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，然后根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)式，利用函數(shù)的性質(zhì)來求得離心率e=-的取值范圍.

該解法與解法1較為相似，主要利用了二次函數(shù)的性質(zhì).區(qū)別在于，本解法是根據(jù)|PB|≤2b恒成立這一條件，發(fā)現(xiàn)當(dāng)P點(diǎn)在下頂點(diǎn)時(shí)，|PB|取得最大值，建立關(guān)于y0的二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得問題的答案.

圓錐曲線的取值范圍問題，往往可通過構(gòu)造函數(shù)，利用弦長公式構(gòu)造不等式，引人參數(shù)來構(gòu)造三角函數(shù)式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、不等式恒成立問題、三角函數(shù)最值問題來求解.因此在解答圓錐曲線的取值范圍問題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，展開聯(lián)想，從多角度進(jìn)行思考，從而尋找到不同的解題思路.

本文系甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度重點(diǎn)立項(xiàng)課題“基于核心素養(yǎng)下的人教A版高中數(shù)學(xué)新舊教材比較的研究——以必修1為例”階段性成果之一，課題立項(xiàng)號(hào)：GS[2021]GHB2114.

（作者單位：甘肅省天水市田家炳中學(xué)）