怎樣解答與數列有關的實際應用問題

羅超

與數列有關的實際應用問題比較常見，此類問題具有較強的綜合性，重點考查分析能力以及建模能力.解答與數列有關的實際應用問題的基本思路為：

1.認真審題.提煉題目中的有用信息，把“已知信息”逐條“翻譯”成“數學語言”;

2.列出各項，并明確前后項之間的規律;

3.根據等差數列、等比數列的定義構建數列模型;

4.靈活運用等差數列、等比數列的性質、通項公式、前n項和公式求得問題的答案;

5.檢驗所得的結果是否滿足題意.

下面舉例說明：

例1.隨著時代的發展，出現了分期付款的新方式.某青年人利用這種付款方式在電器城購買了一件價格為1150元的家用電器.購買當天需先付款150元，以后每月的這一天都需要付款50元，并加付欠款的月利息.已知月利率為1%，分期付款的第一個月是指交付150元之后的第一個月.請問分期付款的第10個月該青年人需要交付多少錢？當付清全部的貨款時，該青年人一共花費了多少錢？

解：購買時付了150元，則欠款為1000元，每月付50元，需分20次付完.

由于每次都必須交50元，外加上所欠余款的利息，這樣每次交付欠款的金額依次構成一個數列，設每次交款的金額依次為

則分期付款的第10個月該交付的錢數為

求解本題，關鍵是先根據題意和等差數列的定義獲知每個月付款的金額成等差數列，據此建立等差數列模型，將問題轉化為求等差數列的第10項a10和S20+ 150，然后根據等差數列的通項公式和前n項和公式求得問題的答案.等差數列是一類比較特殊的數列，其特殊性體現在從第二項起每一項與前一項的差是同一個常數.若實際問題中涉及到這一類數列，且數與數之間滿足等差數列的特性，那么我們就可以通過構建等差數列模型，來解決實際問題，

例2.某地投入大量資金進行生態文明環境建設，進而發展旅游業.根據規劃，本年度投入800萬元資金，以后每年投入的資金比上一年減少20%.本年度該地旅游業收入估計為400萬元.該項建設對旅游業具有促進作用，預計今后旅游業的收入每年將會比上一年增加25%.

（1）將本年度作為第一年，設n年內該地區總投人的資金為an萬元，旅游業的總收人為bn萬元，寫出an，bn的表達式;

（2）要使旅游業的總收入超過總投入，那么至少需要經過幾年？

解答本題，要先根據題意和等比數列的定義，獲知旅游業每年投入資金可構成等比數列、每年的收入也成等比數列;再根據等比數列的前n項和公式進行求解.等比數列是一類比較特殊的數列，其特殊性體現在從第二項起每一項與前一項的比是同一個非零常數.若實際問題中涉及到這一類數列，且數與數之間滿足等比數列的特性，那么我們就可以通過構建等比數列模型，根據等比數列的定義、性質、公式來解決實際問題，

例4.已知某地區共有2200畝荒山.從1998年開始，該地區每年春季都會在荒山上進行植樹造林，且第一年植樹100畝，此后每一年植樹比上一年多50畝.

（1）假設植樹技術成熟，可保證全部樹苗都成活，則到哪一年能夠將荒山全部綠化？

（2）若植樹要求樹苗木材量為2立方米/畝，且樹木木材量每年的自然增長率為20%，求全部綠化后的那一年年底，該山木材的總量S（單位：立方米）.（ 1.28 -4.3）

解答本題，需弄懂題意，將問題轉化為數列的求和問題，利用等差數列的前n項和公式求得將荒山全部綠化的年數，采用錯位相減法求得該山木材的總量.

與數列有關的實際應用問題往往會涉及到等差數列、等比數列的定義、性質通項公式、前n項和公式.在審清題意后，要學會將問題轉化為常規的數列問題，合理運用數列中的知識、方法進行求解.這就要求我們增強數列知識的應用意識，學會將實際問題抽象為具體的數列問題，提高靈活運用數列知識、方法求解實際問題的能力.