關于上海高考數學卷中圓錐曲線試題的研究
——以2017年至今上海高考數學卷中圓錐曲線試題的分析為例

孫建良 華東師范大學張江實驗中學

二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的曲線叫做二次曲線，或圓錐曲線，它的圖形可能是常態圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線），也可能是退縮圓錐曲線（兩條相交直線、兩條平行直線、一條直線、一點、沒有圖形）。本文主要研究常態的圓錐曲線。

筆者將通過對上海自2017 年高考新綜合改革以來，數學試卷（春季與秋季高考）中圓錐曲線試題的題量與題型、知識點分布和試題分值統計與分析研究，明確考查的內容，了解試題的特點，提出高三圓錐曲線復習與練習教學的建議，試圖為“雙減”政策和發展學生核心素養背景下的高考數學復習階段的學和教提供有益的幫助與啟示。

一、高考圓錐曲線試題的統計分析

（一）高考圓錐曲線試題題量與題型

1.從試題的題量來看

整套試卷考查二次曲線的題量，除2020 年春考、2020 年秋考、2021 年春考出現兩次，其余年份均出現三次，占整套試卷題量的七分之一。這與二次曲線的知識內容在整個高中數學教學內容中的比例是相吻合的。

2.從試題的題型來看

試題以填空題形式進行考查的占比最多，選擇題形式考查的占比最少，這與試卷中填空題和選擇題的多少有關。解答題在三類題型中考查的次數處于中間，但解答題一般是綜合題，題目涉及多個知識的綜合應用，運算過程較為復雜，難度較大，對應的分值較高，所以，理應要引起師生的重視。

3.從試題出現的曲線頻次來看

考查次數最多的是橢圓，最少的是圓，雙曲線與拋物線出現的次數相當。在填空題中，橢圓出現的次數最多。而在解答題中，橢圓、雙曲線與拋物線考查次數相同。比較特別的是，除2018 年外，同一年的春考與秋考，解答題很少出現同一種二次曲線的。或許，這對師生的復習會有所啟發。

（二）高考圓錐曲線試題知識點分布

1.從考查的知識點來看

對圓錐曲線定義和基本性質的考查，依次為橢圓、雙曲線、拋物線、圓；試題的形式，以填空題與選擇題為主。有的題較易，如根據給出的雙曲線方程直接寫出漸近線方程；而有的題較難，如，2018 年秋考第12 題是求圓上兩點到直線距離之和的最大值，難度不亞于一個綜合題。

2.從考查的綜合應用情況來看

圓錐曲線一般與直線的結合最多，相關延伸的有直線與圓錐曲線交點的個數、線段的長度、兩條直線的夾角；圓錐曲線與三角形，圓錐曲線與平行四邊形等；2021年春考，涉及兩條雙曲線的綜合問題，這是比較少見的現象。

（三）高考圓錐曲線試題分值

1.從試題的分值來看

每年涉及圓錐曲線的試題分值在26 分左右，約占總分的六分之一。2018 年春考，圓錐曲線試題分值最高，為32 分——主要是出現了兩道解答題。其中的一道題，是二次曲線在廣告燈設計中的應用，屬于應用題類型。2021 年春考，相關試題的分值最低，僅有19 分；不過，還考查了一題關于兩條直線的夾角，屬于解析幾何的范疇，所以，這一考查的安排，也算是合理的。

2.從考查的重點來看

除考查基本定義和基本性質的基礎題外，每年均有一道解答題，屬于綜合應用問題，難度系數高，學生要完整正確解答還是不容易的。這是廣大師生需要正確面對的事實。

二、高考圓錐曲線試題的來源探尋

高考作為國家的重要考試，應該始終貫徹黨的教育方針。中國高考評價體系，明確了高考“立德樹人、服務選才、引導教學”的核心功能。因此，高考對命制試題的要求極高。縱觀命題者命題的依據，不外乎以下幾種：國家頒布的數學課程標準、考試大綱或說明、現行教材、歷年的教學參考資料和當年學生的知識能力整體水平等。

教材既作為落實新課程標準的重要載體，又作為教師教學與學生學習的最主要范本，自然有其重要的作用。除了教材，歷年的高考試題，都是經過精心研制而得，所以也會成為高考命題的重要參考。下面，我來具體分析一下高考試題的幾個來源。

（一）對教材中的例題進行改編

2018 年上海春考數學試題，第19 題是關于圓錐曲線應用的問題。試題如下：

利用“平行與圓錐母線的平面截圓錐面，所得截線是拋物線”的幾何原理，某快餐店用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在廣告牌上投影出其標識，如圖1 所示，圖2 是投影出的拋物線的平面圖，圖3 是一個射燈投影的直觀圖，在圖2與圖3中，點O、A、B在拋物線上，OC是拋物線的對稱軸，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米.

圖1

圖2

（1）求拋物線的焦點到準線的距離；

（2）在圖3 中，已知OC平行于圓錐的母線SD，AB、DE是圓錐底面的直徑，求圓錐的母線與軸的夾角的大小（精確到0.01°）.

圖3

本題與上海教材（高二第二學期第67 頁的例3）高度相似。教材原題如下：

如圖12-48，汽車前反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點處，已知，燈口直徑是24 厘米，燈深10厘米，求燈泡與反射鏡的頂點的距離.（圖略）

這兩道題，都是關于拋物線應用的問題，均提供了燈口大小與燈深。不同之處，僅是實際應用的背景略有差異。可以說，2019年上海春考數學試題第19題，是教材例題的翻版。這種高考試題與教材例題高度類同或相似的情況，值得我們好好研究。

（二）對教材中的習題進行拓展

2017 年上海高考數學試題，第20 題是一個關于橢圓上動點問題，試題如下：

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Г：+y2=1，A為Г的上頂點，P是Г上異于上、下頂點的動點，M為x軸正半軸上的動點.

①P在第一象限，且，求點P的坐標；

③∣MA∣=∣MP∣，直線AQ與Г交于另一點C，且求直線AQ的方程.

這道試題，是總題干下3 個小問題，難度則由簡單到復雜逐步提升，是一個考查橢圓知識的綜合題，對學生的能力要求較高。面對這樣比較新穎的綜合問題，學生初看會茫然無措。但是，如果我們對教材的內容理解深刻，就不難發現，本題與上海教材（高二第二冊第51頁）的習題，有頗多相似之處。原習題如下：

已知點P在焦點為F1、F2的橢圓=1上，若∠F1PF2=90°，求：|PF1|?|PF2|的值.

如果我們對本題進行適當的變形，在條件不變，只改變求解結論，則得到：

變形題1：已知點P在焦點為F1、F2的橢圓1上，若∠F1PF2=90°，求：P點的坐標.（或求：△F1PF2的面積.）

像這樣變形，在題設條件相同時，可以得出不同的結論；有些結論幾乎類同，只是從不同的角度去設問，實際求解過程基本相同。

變形題2：已知點P在焦點為F1、F2的橢圓+=1 上，若以F1、P、F2為頂點的三角形是直角三角形，求：P點的坐標.

在變形題2 中，題設條件略作改變，相應改變得出的結論。要注意原題中∠F1PF2=90°是確定直角，而變形后有可能∠F1PF2=90°或∠PF2F1=90°或∠PF1F2=90°，與原題相比，多了兩種可能性。在解題時，要增加分類討論；但解題過程和方法，則基本不變。

對比2017 年上海高考數學試題第20 題，其中第二小問，就是以A、P、M為頂點的三角形是直角三角形，那就要討論∠APM=90°、∠AMP=90°和∠PAM=90°。這與變型題2 幾乎類同。如果教師在平時的教學中，對課本中的例題或習題進行適當的變形和拓展，那么，學生在碰到新問題時，會利用化歸的思想，把新問題轉化為熟悉的老問題予以解決。

（三）對練習冊中的習題進行延伸

2018 年上海春考數學試題，第18 題考查的是直線與雙曲線相交問題，試題如下：

已知a∈R，雙曲線Г：-y2=1

（1）若點（2，1）在Г上，求Г的焦點坐標；

（2）若a=1，直線y=kx+1 與Г相交于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為1，求k的值.

本題與上海教材習題（高二第二學期第38 頁）極為相似。原習題如下：

已知直線l：y=ax+1 與雙曲線C：3x2-y2=1 相交于A、B兩點.

（1）求實數a的取值范圍；

（2）求當a為何值時，以線段AB為直徑的圓經過坐標原點.

這兩道題目，均是關于直線與雙曲線相交的問題。前者考查了相交所得線段的中點；后者則考查以相交所得線段為直徑的圓，實質是圓心平分該圓的直徑，也是關于線段中點的問題。只是從不同的角度去設問，學生要懂得這種圍繞一個核心內容從不同的方面來提出的問題，以不變應萬變。

類似的改變，還發生在2020 年春考數學試題中，其第20 題，是關于拋物線與直線相交問題，屬于拋物線的典型性問題。試題如下：

已知拋物線y2=x上的動點M（x0，y0），過M分別作兩條直線交拋物線于P、Q兩點，交直線x=t于A、B兩點.

（1）若點M縱坐標為，求M與焦點的距離；

（2）若t=1，P（1，1），Q（1，-1），求證：yA·yB為常數；

（3）是否存在t，使得yA·yB=1 且yP·yQ為常數？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，請說明理由.

這道試題，與上海數學練習冊習題（高二第二學期練習冊第36頁）相似。原題如下：

過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的一條直線，與拋物線相較于兩個不同的點，兩點的縱坐標分別為y1、y2.求證：y1y2=-p2.

像這種根據教材的配套練習冊習題，經過一定延伸改變而成的試題，也是經常采用的命題方式。

（四）對歷年的高考試題進行借鑒

2017年上海高考數學試題，第6題是考查雙曲線上點到兩個焦點的距離問題。試題如下：

這道題，與2003 年上海高考數學試題第12 題極為相似，都是給定雙曲線上一點到其中一個焦點的距離，求這點到另一個焦點的距離；由于|PF1|的長度小于焦點F1到雙曲線較遠端點的距離，所以，|PF2|的長度只有一個值，這是本題的考核要點。2008 年上海春考數學試題第7 題，與2017 年上海高考數學試題第6 題，僅把數字進行了適當變換，實質內容完全一樣。2003 年上海秋考第12題如下：

F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.

該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據填在下面空格內，若不正確，將正確的結果填在下面空格內__________.

2008 年上海春考第7 題：已知P是雙曲線1 右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x-y=0.設F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點.若|PF2|=3，則|PF1|=__________.

通過探尋，我們還看到，頗為相似的情況也多次出現。2018 年上海高考數學試題第13 題，考查的是橢圓上的點到兩焦點的距離之和，以填空題形式出現。試題如下：

設P是橢圓=1 上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為（ ）.

上述試題，與2008 年上海高考數學（文科）試題第12 題，均是橢圓上的點到兩個焦點距離之和，同樣以選擇題形式考核，不同之處僅為數字差異。2010 年上海春考數學試題第5 題，雖然以填空題形式出現，但考察的內容幾乎不變。這種高考出題的方式，值得我們在復習時借鑒和運用。我們還可以看出，2008 年上海高考數學（文科）試題第12題與2010年上海春考數學試題第5 題，僅僅是試題形式的改變。這樣的改變是否合適？想來讀者自會判斷。以下分別是相關年份的試題：

A.4 B.5 C.8 D.10

三、高考圓錐曲線的復習建議

（一）重視基礎

圓錐曲線的復習，其一，要詳細復習每一個知識點，把圓錐曲線的定義、標準方程、圖像特征和基本性質熟記會用。其二，要學會對所學知識進行系統的整理，把分散的知識合成為一個整體，使之形成一個較完整的知識體系。如看到圖形，能想到對應的方程與一些基本性質；反之，知道方程，就會畫出圖形和研究其特性。其三，要掌握知識類比，如復習雙曲線時，對比橢圓與拋物線相似的基本性質和各自的特點，使基礎知識縱向連成線，橫向結成網，形成完整的知識網絡。

（二）善于變換

“變”是數學學習活的靈魂，在復習時，不能僅停留在知識點的記憶程度，還要設計一定的練習題，對學生進行必要的訓練。

練習題的選擇和設計，一是在于精。對一些典型的圓錐曲線問題，要分析透徹，訓練到位。二是注意融入一題多解的實訓。即對同一個問題，能從不同的角度進行分析，建立不同式子，尋找相異的路徑，得到相同的結果，達到殊途同歸的效果。三是注意加強一題多變的實訓。即在相同條件下，把結論改成等價結果或相近的結果；在結論不變時，適當改變問題的條件，而解題的方法基本不變。四是注意進行多題一解的實訓。即要善于對解題方法歸類總結，把問題不同而解題方法相同或相近的歸成一類，著重對通性通法的總結，達到解一道題破一類題的效果。

（三）適當綜合

綜合應用，包括綜合與應用兩個方面。

所謂“綜合”，其一，是知識的綜合。既有圓錐曲線各個知識相互關聯疊加，也有其他知識如向量、直線、三角形等與圓錐曲線結合。其二，是數學思想方法的綜合。如函數思想、方程思想、分類思想和數形結合思想等相互融合。

所謂“應用”，一是運用簡單的知識解決復雜的數學問題，二是運用數學的知識和方法解決實際生活中的問題。如2021 年春考數學試題第19 題，就是運用二次曲線解決測量問題。三是解題方法的綜合。如根據題目給出的條件，列出方程或方程組，直接求出結果。四是設置參變量，通過設而不解的方法得出結論。

可見，我們只要對近五六年的高考圓錐曲線試題的統計數據、來源等進行精準分析，就可以高屋建瓴、把握趨勢，從而由精準復習入手，為落實“雙減”背景下培養學生的數學核心素養，實現“減負增效”作出貢獻。