真空態(tài)下高Q腔中的靜態(tài)Casimir效應(yīng)

巴合提古麗·阿斯里別克，吐爾遜·艾迪力比克，鄭泰玉

(1.伊犁師范大學(xué)電子與信息工程學(xué)院光電材料與器件實(shí)驗(yàn)室，新疆 伊寧 835000；2.東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

1948年，荷蘭物理學(xué)家Casimir首次預(yù)言了置于真空中且靠得很近的兩塊電中性平行金屬板之間存在吸引力[1].1956年，俄國(guó)物理學(xué)家Lifshitz對(duì)Casimir效應(yīng)做了進(jìn)一步的研究，提出了介質(zhì)板之間的Casimir力[2]，并考慮了有限溫度對(duì)Casimir力的影響.目前為止，Casimir效應(yīng)已經(jīng)被多種實(shí)驗(yàn)所證實(shí)[3-5].研究顯示Casimir效應(yīng)與很多因素有關(guān)，如腔的大小和形狀、有限溫度、環(huán)境性質(zhì)、時(shí)空維度、邊界性質(zhì)等[6-9].隨著納米技術(shù)和微觀系統(tǒng)科學(xué)的不斷發(fā)展，Casimir效應(yīng)已有了廣泛的應(yīng)用前景.例如，隨著超大規(guī)模集成電路的發(fā)展，人們開始考慮Casimir效應(yīng)對(duì)微電子技術(shù)的影響.Casimir效應(yīng)不僅在量子力學(xué)范圍具有重要作用，在物理學(xué)的其他領(lǐng)域也具有重要價(jià)值，例如：凝聚態(tài)物理、量子場(chǎng)論、原子分子物理、數(shù)學(xué)物理、引力和宇宙學(xué)等[10-12].

本文研究的是由處于真空態(tài)的兩平行板組成的系統(tǒng)，其中一端是具有輸出耦合的一維腔場(chǎng).基于光場(chǎng)環(huán)境模式，利用正規(guī)化方案，求出高Q腔中兩塊平行板之間Casimir力的解析表達(dá)式，并對(duì)此表達(dá)式進(jìn)行了分析和討論.

1 系統(tǒng)的模型

圖1 一端輸出耦合的一維腔

本文研究的系統(tǒng)是一端具有輸出耦合的耗散腔，如圖1所示.該耗散腔由放在x=0處的半透明鏡和放在x=-L處的全反射鏡組成，半透明鏡的透射率為t，反射率為r.為了簡(jiǎn)單起見，設(shè)線偏振的電磁波在x方向傳播，定義磁場(chǎng)的偏振方向?yàn)閦軸，而電場(chǎng)的偏振方向?yàn)閥軸.

假設(shè)半透明鏡不吸收，透射率t和反射率r滿足如下關(guān)系：

(1)

r*t+t*r=0.

(2)

系統(tǒng)中的耗散腔可通過半透明鏡與外界交換能量，因此會(huì)引起腔模式的衰變.本文研究的系統(tǒng)采用Lang等[13]提出的一種環(huán)境模式.在環(huán)境模式中，系統(tǒng)由一系列分立的量子化諧振子模式組成，而外界是由另一種連續(xù)的量子化諧振子模式組成.

根據(jù)環(huán)境模式，腔內(nèi)電磁場(chǎng)可描述為[13]：

(3)

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

腔真空態(tài)可表示為

|0〉=?nk|0nk〉.

(8)

其中真空態(tài)|0nk〉對(duì)任意的n，k滿足

(9)

2 高Q腔中的Casimir力

耗散腔中兩平行板之間的Casimir力f等于零點(diǎn)能E0對(duì)腔長(zhǎng)度導(dǎo)數(shù)的梯度.即

(10)

因此，首先計(jì)算零點(diǎn)能.腔場(chǎng)零點(diǎn)能可表示為

(11)

(12)

(13)

將(3)式和(4)式代入(13)式，并利用(6)—(9)式，計(jì)算得

(14)

根據(jù)Poisson’s的求和函數(shù)[14]，并假設(shè)透射率t和反射率r與波數(shù)k無(wú)關(guān)，可得環(huán)境模式中的函數(shù)L(k)的平方為[15]

(15)

其中：

(16)

(17)

(18)

(18)式中，Δ代表失諧量，當(dāng)arg(r)<π時(shí)，x=0處的透鏡是半透明鏡，當(dāng)arg(r)=π時(shí)，是全反射鏡.把(15)式代入(14)式，對(duì)k積分得

(19)

利用黎曼Zeta函數(shù)

(20)

整理得

(21)

其中

(22)

把(21)式代入(10)式可得輸出耦合一維腔中的Casimir力

(23)

當(dāng)arg(r)=π時(shí)，得到

(24)

這與兩塊理想平行導(dǎo)體板之間的作用力一致[16].

3 討論

根據(jù)Casimir力的表達(dá)式(23)式，討論Casimir力和相關(guān)參數(shù)之間的變化關(guān)系.這里有2個(gè)參數(shù)，分別為腔尺寸(兩板間距)L和介質(zhì)板反射率r.通過Matlab求解方程(23)式的數(shù)值解，畫出Casimir力和兩板間距的關(guān)系圖，如圖2所示.從圖2可知Casimir力為吸引力，且隨著腔尺寸L的增加而減小，這與理想腔的結(jié)果一致.

為了考慮Casimir力和半透明鏡反射率的關(guān)系，在反射率取不同值的條件下，討論Casimir力和腔尺寸之間的關(guān)系平面圖，如圖3所示.圖3中虛線表示的是反射率函數(shù)arg(r)=0.9π時(shí)的Casimir力，而實(shí)線表示的是反射率函數(shù)arg(r)=0.7π時(shí)的Casimir力.從圖3可知，腔的尺寸不變時(shí)，虛線表示的Casimir力始終比實(shí)線表示的Casimir力大.這表明高Q腔中的Casimir力隨著反射率的增加而增加.根據(jù)這一結(jié)果，可以通過調(diào)節(jié)腔壁反射率的大小來調(diào)節(jié)Casimir力.

圖4表示兩板之間Casimir力、介質(zhì)反射率和腔尺寸之間的變化關(guān)系.從圖4可知，兩平行板之間的Casimir力隨腔壁反射率的增加而增加，隨兩板間距的增加而減少.

圖2 耗散腔中Casimir力隨腔尺寸的變化曲線

圖3 尺寸為L(zhǎng)的真空腔中Casimir力和腔壁反射率之間的關(guān)系

圖4 Casimir力與耗散腔兩平行板之間的距離、腔壁介質(zhì)板反射率之間的變化關(guān)系

4 總結(jié)

利用全量子理論研究了真空態(tài)下高Q腔中的Casimir效應(yīng).推導(dǎo)了處于真空態(tài)下一端具有輸出耦合的一維腔中平行板之間Casimir力的解析表達(dá)式.在此基礎(chǔ)上，分析了腔尺寸、腔壁介質(zhì)的反射率對(duì)兩平行板之間Casimir力的影響.研究結(jié)果有助于進(jìn)一步研究Casimir效應(yīng)的相關(guān)問題.