夯實基礎重規范拓展思維應變化

孟憲良

【摘 要】 縱觀近兩年高考，試卷命題整體以全國教育大會精神為指引，全面貫徹落實“五育并舉”的教育方針，突出學科核心素養，著重考查考生的閱讀能力、思維能力以及綜合運用能力.本文以近兩年高考天津卷中的數列題型為例，提出幾點教學思考.

【關鍵詞】 核心素養;立德樹人;課程評價

1 2021年天津卷整體結構分析

試卷秉承“穩中有新，穩中有變”的命題原則，在知識結構、能力結構、難度結構上完整統一，考查基礎知識的同時，注重考查能力，以數學學科核心素養為導向，將知識、能力、素養融為一體，全面檢測考生的數學學科素養.

第1題集合的交并補運算，第2題充分必要條件，這兩道題注重考查學生的數學運算的核心素養.第3題考查圖象辨析，培養學生綜合運用函數的基本性質，發現函數的變化趨勢.

第4題統計中頻率分布直方圖，以大家熟悉的網絡平臺推送影視作品為選材，以實際生活為背景，需要學生能從具體生活實際中抽象出數學模型，從統計圖表中發現關鍵信息，處理生活中的概率統計問題.第5題比較大小，借助指對函數圖像及指對函數性質，題型穩定，變化不大.第6題球的接切問題，注重學生空間想象能力的培養，提升學生直觀想象的核心素養.第7題為一道指對運算的題目.第8題為圓錐曲線的考查，雙曲線與拋物線的結合.第9題是以函數零點問題為背景，考查學生分析函數的方法，強調從代數化簡推導到幾何作圖，充分考查了考生的數形結合思想與轉化化歸思想，考驗學生分析問題、解決問題的綜合能力.

填空第10題和11題仍然是復數與二項式定理的考查，旨在考查數學運算核心素養.第12題是直線與圓的考查，注重幾何與代數結合的考查，難度適中.第13題基本不等式的考查，注重學生對于基礎知識的運用和綜合分析能力的考查.第14題作為概率與統計知識的考查.第15題是平面向量知識的考查，同樣是采用了雙空的形式，面向全體學生.

解答題第16題是利用正余弦定理解三角形，考查學生的基礎性應用.第17題立體幾何知識的考查.第18題圓錐曲線橢圓解答題的考查，本題意在考查學生題目的綜合分析能力以及計算能力，從提升學生的數學核心素養的角度出發.第19題數列，第一問還是等差等比數列的基本量運算;第二問為數列求和問題;在第三問加大了難度，尤其是放縮方法的結合，求和時需要先放縮去除根號，才能用錯位相減法求和，提高了數列題型的技巧性.第20題，作為試卷的最后一題，綜合了函數與導數知識，既有對函數、導數基本知識方法的考查，又有對導數與不等式綜合能力的考查.

2 夯實基礎，注重解題規范

例如 2020年、2021年天津卷的數列題，我們要注重解題規范，首先獲得基礎分值.例如第一問：求an和bn的通項公式，屬于對學生基本公式和基礎能力的考查.

2020年19題 已知an為等差數列，bn為等比數列，a1=b1=1，a5=5a4-a3，b5=4b4-b3.

（Ⅰ）求an和bn的通項公式;

（Ⅱ）記an的前n項和為Sn，求證：SnSn+2<S2n+1n∈N*;

（Ⅲ）對任意的正整數n，

設cn=3an-2bnanan+2，n為奇數，an-1bn+1，n為偶數.

求數列cn的前2n項和.

思路分析 （Ⅰ）由題意分別求得數列的公差、公比，然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論首先求得數列an前n項和，然后利用作差法證明即可;

（Ⅲ）分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式，然后分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算∑nk=1c2k-1和∑nk=1c2k的值，據此進一步計算數列cn的前2n項和即可.

詳解過程 （Ⅰ）設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q.

由a1=1，a5=5a4-a3，可得d=1.

從而an的通項公式為an=n.

由b1=1，b5=4b4-b3，

又q≠0，可得q2-4q+4=0，解得q=2，

從而bn的通項公式為bn=2n-1.

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得Sn=n（n+1）2，

故SnSn+2=14n（n+1）（n+2）（n+3），S2n+1=14n+12n+22，

從而SnSn+2-S2n+1=-12（n+1）（n+2）<0，

所以SnSn+2<S2n+1.

（Ⅲ）當n為奇數時，cn=3an-2bnanan+2=（3n-2）2n-1n（n+2）=2n+1n+2-2n-1n，

當n為偶數時，cn=an-1bn+1=n-12n，

對任意的正整數n，有

∑nk=1c2k-1=∑nk=122k2k+1-22k-22k-1=22n2n+1-1，

和∑nk=1c2k=∑nk=12k-14k=14+342+543+…+2n-34n-1+2n-14n ，①

由①得14∑nk=1c2k=142+343+544+…+2n-34n+2n-14n+1，②

由①②得34∑nk=1c2k=14+242+…+24n-2n-14n+1=241-14n1-14-14-2n-14n+1，

由于241-14n1-14-14-2n-14n+1=23-23×14n-14-2n-14n×14=512-6n+53×4n+1，

從而得：∑nk=1c2k=59-6n+59×4n.

因此，∑2nk=1ck=∑nk=1c2k-1+∑nk=1c2k=4n2n+1-6n+59×4n-49.

所以，數列cn的前2n項和為4n2n+1-6n+59×4n-49.

命題意圖 本題主要考查數列通項公式的求解，分組求和法，指數型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.

命題方向 這類試題在考查題型上主要以解答題的形式出現.多為中檔題，數列是歷年高考的熱點，主要考查數列的通項公式及前n項和.

方法總結 高考命制綜合題時，常將等差、等比數列結合在一起，形成兩者之間的相互聯系和相互轉化，破解這類問題的方法是首先尋找通項公式，利用性質之間的對偶與變式進行轉化.

常見錯誤解法及教學建議

第1問常見錯誤解法：

錯誤解法1 在第一問中，出現計算錯誤.

錯解 a5=5（a4-a3）

a1+4d=5（a1+3d-a1+2d），（此時的符號運算已經出現錯誤）

21d=1，所以d=121.

錯誤解法2：等比數列通項公式的記憶錯誤，很多學生把通項公式記成：bn=b1qn

從而，得到bn=2n的錯解.

教學建議 注意基本公式的準確性.

第2問常見錯誤解法：

錯誤解法1 等差數列前n項公式錯誤

例如 錯誤公式1：Sn=na1+n（n+1）2d

錯誤公式2：Sn=n（an-a1）2=n（n-1）2

錯誤解法2 證明方法隨意、不規范，對于作差、作商、分析法，沒有規范的書寫格式.

錯誤解法3 把an的前n項和為Sn誤當做bn前n項和計算，

即Sn=1-2n1-2=2n-1，

在此時的情況下，Sn+1=2n+1-1;

Sn+2=2n+2-1，

SnSn+2=（2n-1）（2n+2-1）=22n+2-2n+2-2n+1，

S2n+1=（2n+1-1）2=22n+2-2n+2+1.

利用作差等方法比較大小.

教學建議 注意解題方法的規范性.

第3問常見錯誤解法：

錯誤解法1 當n為奇數時，裂項形式錯誤

高頻錯誤方式有：

（1）3n-2·2n-1nn+2=（3n-2）·2n-2·（1n-1n+2）;

（2）3n-2·2n-1nn+2=（2n+2n+2-2nn）.

錯誤解法2 不清楚前2n項最后一個奇數項是哪一個.

2021年19題

已知{an}是公差為2的等差數列，其前8項和為64.{bn}是公比大于0的等比數列，b1=4，b3-b2=48.

（Ⅰ）求an和bn的通項公式;

（Ⅱ）記cn=b2n+1bn，n∈N.

（i）證明cn2-c2n是等比數列;

（ii）證明∑nk=1akak+1ck2-c2k<22（n∈N）.

詳解過程

（Ⅰ）解：記等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，由題意知d=2，S8=64，

代入公式Sn=na1+n（n-1）2d，解得a1=1，所以an的通項公式為an=2n-1.

設等比數列bn的公比為q，由b1=4，b3-b2=48，可得q2-q=12，又q>0，

解得q=4，所以bn的通項公式為bn=4n.

（Ⅱ）（i）證明：由（Ⅰ）可得cn2=（b2n+1bn）2=（42n+14n）2=44n+142n+2×4n，

cn2-c2n=44n+142n+2×4n-（44n+142n）=2×4n，

因為對任意n∈N，有c2n+1-c2（n+1）cn2-c2n=2×4n+12×4n=4，所以cn2-c2n是等比數列.

（ii）證明：由（Ⅰ）和（Ⅱ）（i），有

akak+1ck2-c2k=（2k-1）（2k+1）2×4k=4k2-12×4k<4k22×4k=2·k2k，

則∑nk=1akak+1ck2-c2k<2∑nk=1k2k.

記Tn=∑nk=1k2k，即

Tn=12+222+323+…+n2n.?? （1）

由（1）得12Tn=122+223+…+n-12n+n2n+1. ??（2）

由（1）（2）得12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1=12（1-12n）1-12-n2n+1，從而得

Tn=2-n+22n<2.

所以，∑nk=1akak+1ck2-c2k<2Tn<22（n∈N）.

3 拓展數學思維，應對題型變化

數學是思維的科學，數學教學的根本任務就是優化學生的思維品質.在高考復習的過程，始終要堅持思維有邏輯，知識常梳理，賦予學生獨立探索的過程，體會高考題中的內在聯系，促進“高考經驗”的形成，從而提升學生解決實際問題的能力，提高課堂復習效率，從容面對題型變化，獲得更加優異的成績.

參考文獻：

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[3]謝雪晶.新課改背景下高中數學校本課程的開發與運用[J].試題與研究，2021（28）：137-138.