分類討論思想的應(yīng)用探討

張應(yīng)祖

【摘 要】 培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)之一，而分類討論思想是邏輯能力的一種.教師在教學(xué)中運用分類討論的方式對知識點和習(xí)題進行講解，可以有效提升學(xué)生的邏輯思考能力.分類討論是求解高中數(shù)學(xué)問題常用的方法，通過分類討論可以有效降低題目的難度，達(dá)到精準(zhǔn)解題的目的.本文就分類討論的思想進行探究，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識點及在實際題目中的應(yīng)用，具體地闡述了分類討論方法在高中數(shù)學(xué)課堂的重要性.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);分類討論;數(shù)學(xué)邏輯

近些年來，分類討論思想的運用多次在高考試題中出現(xiàn)，分類討論的思想被大量應(yīng)用在求解參數(shù)問題、不等式問題、函數(shù)問題以及概率問題中.熟知分類討論的思想有助于學(xué)生在解題過程中打開思路，能夠熟練地掌握分類討論的方法，可以提高學(xué)生的邏輯素養(yǎng).

1 分類討論概述及其意義

分類討論的思想是通過將問題分為兩個或多個情況來對問題進行拆分處理，然后再分別在限定情況下進行求解.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，當(dāng)數(shù)學(xué)問題相對復(fù)雜，不能用一個公式或一種思想來進行求解時，則可進行分類討論.將一類的問題歸結(jié)后進行求解，避免因一概而論而造成求解錯誤，這是分類討論的核心.分類討論的思想在高中的學(xué)習(xí)中是十分重要的，它不僅體現(xiàn)在解題中，在定理中也會涉及用分類討論的方法來進行定義.

例如 一元二次方程解的判斷常使用的根的判別式是：當(dāng)Δ≥0時，則表明方程具備實數(shù)解，而如果Δ<0，則說明方程不存在實數(shù)解[1].這其實就是一種只具備兩種情況的分類討論，也是分類討論思想最直觀的表現(xiàn).在不同情況下定義和定理的結(jié)論是不同.而這些不同，對結(jié)果的影響巨大，這也是分類討論思想的意義所在.利用分類討論的思想可以快速地將復(fù)雜和多變的情況變成一個個相對小且簡單的問題，這樣既可以讓解題的思維更加清晰，也可以更加全面地認(rèn)識問題，而不會造成遺漏.需要注意的是，運用分類討論思想時需要考慮多種情況，所以易出現(xiàn)遺漏個別情況，即考慮問題不夠全面，這就要求教師在進行學(xué)生能力培養(yǎng)的同時，不可忽略學(xué)生基礎(chǔ)能力的培養(yǎng)，以此使學(xué)生具備全面思考的能力和一定的數(shù)學(xué)邏輯素養(yǎng).

2 分類討論思想的課程設(shè)計

分類討論的思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的一環(huán)，幫助學(xué)生建立分類討論的意識有助于學(xué)生的學(xué)習(xí).如何將分類討論的思想融入到課堂中，需要教師根據(jù)實際教學(xué)情況進行合理的安排.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，傳統(tǒng)老舊的教學(xué)方式是由教師進行填鴨式的講解，學(xué)生的課堂參與度并不高，此時將分類討論思想糅雜進課堂存在難度.既然是討論，那就可以有意識地在進行分類討論練習(xí)時采取交互式的課堂，幫助學(xué)生更好地體會分類討論思想的運用.

例如 在進行選修1-1的圓錐曲線與方程這一章節(jié)中的拋物線與直線關(guān)系判斷的學(xué)習(xí)時，就可以采取交互式的課堂教學(xué).首先給出直線與拋物線的方程，拋物線方程的焦點在x軸上，即拋物線方程：y2=2px且p>0，直線方程：Ax+By+C=0且A2+B2≠0.給出公式后可以逐步引導(dǎo)學(xué)生進行判別式的推導(dǎo)，得到的判別式是：Δ=pB2-2AC，得到判別式之后就可以進行分類討論.將學(xué)生分為不同的組別，分別對Δ>0，Δ=0，Δ<0的情況進行討論.最后可以得出結(jié)論：當(dāng)判別式大于0的時候相交，小于0的時候相離，等于0的時候相切[2].在討論完判別式的情況之后再進行問題的設(shè)計，詢問學(xué)生是否所有的情況都考慮到了，然后再引出考慮直線A=0的情況，這樣就可以讓學(xué)生全面深入地看待問題，也能讓他們對分類討論的思想有進一步的認(rèn)識.在課堂中有意識地引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論的思考，不僅可以通過知識點的講解來進行，也可以設(shè)計相應(yīng)的分類討論的習(xí)題，讓學(xué)生在解題的過程中潛移默化地形成分類討論的意識.

3 分類討論方法的幾種應(yīng)用

3.1 求解不等式

分類討論的方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，其中在進行選修4-5中不等式的學(xué)習(xí)時經(jīng)常會運用到分類討論的思想，特別是在求絕對值不等式中.不同的定義域，方程的表達(dá)式會發(fā)生一定的變化，這時需要將定義域進行拆分，分屬不同的情況來進行求解[3].比如，在給定區(qū)域（A，B）中求解不等式x-a+x-b>0時，需要考慮絕對值不等式中a，b與x的取值之間的大小關(guān)系，進行分開求解后再將所有情況進行匯總求解值域的范圍，以下通過實例進行具體說明.

例如 求解不等式x-2+x+1>0時，x的取值范圍.

因為題目中并沒有在初始定義x的取值，所以默認(rèn)在整個實數(shù)域內(nèi)，要求解不等式中的取值范圍需要將絕對值去掉，轉(zhuǎn)化為普通的形式來進行求解，當(dāng)x取不同值時，不等式會發(fā)生變化，下面我們進行分類討論：

當(dāng)x<-1時，不等式會變成

2-x+（-x-1）=1-2x>0;

當(dāng)-1≤x<2時，不等式就變成了

2-x+x-1=1>0;

當(dāng)x≥2時，不等式為：2x-1>0;

將以上三種情況下x的取值范圍求解，可得到三個不同的區(qū)間.通過求解它的并集即可得到所求x的取值范圍.事實上，求解的過程是非常基礎(chǔ)的計算，難點在于用分類討論的方法將絕對值去掉，這需要教師在習(xí)題講解過程中對學(xué)生進行啟發(fā).

通過例題我們可以清晰地看到分類討論思想在解題過程中的運用，其實不限于絕對值不等式的求解，對于含有參數(shù)的一元二次方程，也可以采取分類討論的方法來進行求解.

3.2 函數(shù)中的分類討論

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，無論是方程還是不等式，都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進行求解.在近幾年的高考試卷中，函數(shù)常作為壓軸題對學(xué)生進行考核，這也從側(cè)面反映了函數(shù)學(xué)習(xí)的重要性.而在函數(shù)的學(xué)習(xí)中運用分類討論的思想可以將問題進行轉(zhuǎn)化，達(dá)到快速解題的目的.

例如 在求解給定范圍的函數(shù)最大值或是最小值時，就可以采取分類討論的形式進行求解.尤其是對于分段函數(shù)來說，要利用導(dǎo)數(shù)直接求解有時候是行不通的，因為可能存在函數(shù)分段之后在那個極值點并不具備可導(dǎo)性.此種情況就需要采取分類討論的方法來進行分段求解，之后再將各段的最大值或是最小值進行比較，最后得出在給定范圍內(nèi)的函數(shù)的最大值或是最小值[4].

不僅如此，在研究函數(shù)問題時經(jīng)常會碰到函數(shù)含有參數(shù)的情況，其中最為簡單的是二次函數(shù)中的參數(shù)問題.關(guān)于函數(shù)y=ax2+bx+c，常討論的是參數(shù)a的變化，因為a的變化會影響函數(shù)圖像的開口問題，對于參數(shù)a大于或小于0，二次函數(shù)會具備不同的函數(shù)性質(zhì)，在解題的過程中我們會用到函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，所以它的分類是十分必要的.采取分類討論的形式對問題進行拆分，在各個限定條件下分別討論完成之后再進行匯總，最后得到問題的答案.當(dāng)然這些都還只是分類討論思想在函數(shù)中的很小部分的運用，但也足以看到分類討論思想在解決一些函數(shù)問題時所獨有的優(yōu)勢.掌握分類討論的思想就可以從簡單處著手，逐步接近問題的答案.

4 結(jié)語

分類討論在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，在遇到情況復(fù)雜或者是棘手問題的時候，運用分類討論可以快速地將題目抽絲剝繭，將復(fù)雜的問題化繁為簡，從而找到解題的思路.在用分類討論思想解決實際問題時，應(yīng)該注意全面地看待問題，在進行題目的求解時應(yīng)充分考慮到題目中出現(xiàn)的所有情況，避免遺漏任何可能的情況.同時在教導(dǎo)學(xué)生采用分類討論思想解題時也應(yīng)注重基礎(chǔ)教學(xué)，因為在高中數(shù)學(xué)里部分題目的設(shè)計本身就帶有考慮不全面的陷阱，如果在考慮不全面的情況下使用分類討論的方法就可能落入題目中的陷阱，影響最后答案的正確性.不僅如此，分類討論還要求學(xué)生具有查漏補缺的能力，能夠及時地發(fā)現(xiàn)解答過程中的錯誤或是遺漏，教師在進行教學(xué)的時候可從這方面入手，鍛煉學(xué)生全面思考的能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]董波. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生分類討論思想的培養(yǎng)與應(yīng)用[J]. 新紀(jì)實·學(xué)校體音美， 2019， 000（009）：1-1.

[2]陳桂英. 淺談在高中數(shù)學(xué)課堂中分類討論思想的有效運用[J]. 課程教育研究：學(xué)法教法研究， 2019， 000（004）：163-163.

[3]黃麗菊. 分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J]. 新教育時代電子雜志（教師版）， 2019， 000（006）：84.

[4]徐佳環(huán). 分類討論思想在數(shù)學(xué)解題方式中的應(yīng)用研究[J]. 佳木斯職業(yè)學(xué)院學(xué)報， 2019， 194（01）：164-165.