輔助線在初中幾何解題中的應用

李芳

【摘要】幾何是初中數學重難點知識內容，在于培養學生邏輯思維能力與幾何圖形分析能力，關系到學生數學綜合素質提升.正因幾何知識抽象性，造成很多學生在解題中頻出問題，需要引入合理解題方式.從某種層面分析，合理添加輔助線不僅能幫助學生梳理解題思路，更能降低幾何問題難度，調動學生掌握知識以及解題積極性和主動性，可謂數學課程改革與創新關鍵所在.對此，本文則從多方面分析在幾何解題中應用輔助線，望給予相關教師教學提供參考.

【關鍵詞】初中數學;邏輯思維;幾何圖形

1 在解答三角形中構建輔助線

縱觀初中數學幾何知識基本都涉及角與角和邊與邊間關系，例如圖形與幾何單元中收錄的‘全等三角形’知識點，全等三角形兩個對應角和對應邊相等，通常學生在求證等角和等邊中會構建兩個全等三角形解答題目.

例1 以圖1為所示，AD=BE，∠ADC=∠E，求證AC=BC.

解題分析 上述題目所給出的圖形較為簡單且條件較少，常用解題方法：證明AC與BC線段所在的三角形為全等.

觀察圖1發現，AC與BC的三角形△ACD與△BCE并未全等，很多學生在解答到此就不知該如何繼續.事實上，經深入思考可得知，當無法運用求證全等三角形方式后可立即運用輔助線，使AC與BC相等，換言之使兩個三角形的邊與角相等.

針對上述題目，已知AD=BE，∠ADC=∠E，添加輔助線構造全等三角形，隨即運用輔助線構造一對角或邊相等即可順利解題.

其中解法①：構造一對角相等;若問題條件給出圖形一對角或一對邊相等，那么就需尋找一對角相等后便可得出兩角一邊對應相等，緊接著應用角邊角定理可順利的得出AC與BC兩個三角形為全等三角形.

解法②：構造一對邊相等;該方法并非隨意應用，需參照其中一個三角形，由此一來才能保證所構造的另一三角形為全等.

學生在畫輔助線時應遵循以下原則，若構造軸對稱或中心對稱型全等三角形需根據圖形特征合理添加輔助線，形成翻折型或旋轉型全等三角形.同時根據題目中已知條件繪制，若得知角平分線信息可在角平分線兩邊做輔助線，若題目已有線段垂直平分線時，則可運用輔助線連接線段兩端后明確線段與角關系.

2 在解答平行四邊形中構建輔助線

在解答平行四邊形題目中應用輔助線目的在于將四邊形轉為三角形，從而由易至難解決幾何問題.

例2 如圖2，在平行四邊形ABCD中，O與P為平行四邊形ABCD對角線BD上一點且BO=DP，證明四邊形AOCP為平行四邊形.

解題分析 學生在解答上述題目中需證明對角線相互平分的四邊形為平行四邊形，也是判定平行四邊形原理之一.

對此，在繪制輔助線時先連接AC，再根據已知條件四邊形ABCD為平行四邊形，

故而HA=HC，HB=HD，

再已知BO=DP，可直接推斷出HP=HO，

所以AOCP為平行四邊形.

3 在解答梯形中構建輔助線

梯形是一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形，求證此類圖形可運用輔助線將其轉化為平行四邊形或三角形，常見拼接、分割以及作梯形的高等輔助線應用方式.

方法1 連接對角線構造三角形，上述為求證梯形問題時常用輔助線方式.

例3 如圖3所示，已知四邊形ABCD中，AB=AC，BD=CD，過點D作DE⊥AB延長線于點E，DF⊥AC延長線于點F，證明DE=DF.

解題分析 如果想要對DE=DF進行求證，通常需要先求證△DBE≌△DCF，然而題目并未給出與上述求證有關的全等條件.

可連接AD由邊邊邊得△ABD≌△ACD，

所以AD平分∠EAF.

再運用“角平分線”原理可得出DE=DF.

所以，通過連接AD可對AD平分∠EAF進行證明，

最后運用角平分線的判定定理可得出DE=DF.就不需要證明△DBE≌△DCF.

方法2 割補法

例4 圖4為一塊四邊形土地，其中∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB=303m，CD=503m，求該土地面積.

解題分析 在計算圖4四邊形面積時需要該圖形轉化成與三角形有關問題，結合題目中所給條件，∠ABD=120°，延長BD與CA，交于點P，

得出S平行四邊形ACDB=S△CDP-S△ABP，簡化證明S△CDP-S△ABP難度.

總之，幾何貫穿整個數學課程始終，在學生學習中發揮著不可小覷的作用，甚至會對其他數學知識的學習質量產生重要影響.

通過幾何解析能強化抽象思維能力、邏輯思維能力以及空間想象能力，在解答幾何題中應用輔助線能引領學生基于空間思維角度探究解題方式，形成清晰解題思路，將看似抽象復雜圖形分為多個熟悉圖形，大幅度降低解題難度，為迅速解答提供便利.

學生在輔助線指引下能迅速整理圖形中有效信息，提升解題效率，對后續更深層次數學學習奠定堅實基礎.