初中數學中巧作輔助線解平行線有關問題

黃艷紅

【摘要】 在學完了平行線的性質與判定之后，往往對一類題目感覺到比較困難，這類問題做起來比較棘手，而考試當中又常常遇到.現對這類題目總結歸納，談談做題技巧.

【關鍵詞】 輔助線;初中數學;直線平行

我們知道，平行線的性質有三個，分別是：兩直線平行，同位角相等;兩直線平行，內錯角相等;兩直線平行，同旁內角互補.平行線的判定有四個，分別是：同位角相等，兩直線平行;內錯角相等，兩直線平行;同旁內角互補，兩直線平行;平行于同一條直線的兩條直線平行.對平行線的性質與平行線的判定，我們通常都離不開一個基本模型——兩條直線被第三條直線所截，也就是“三線八角”模型，實際問題的圖形中卻往往不只三條直線，由于線的數量變多了，導致我們往往找不到第三截線，或者雖然能在基本圖形中找到，但圖形變化時就很難找到，特別是沒有第三截線的時候更是不知所措，現對這類題目總結歸納，談談做題技巧.

1 一點在兩平行線內部

1.1 “M型”

例1 如圖1，已知AB∥DE，點C為AB，DE內部一點，則∠BCE與∠1，∠2之間的數量關系是.

解 要想建立這三個角之間的關系，這里的條件AB∥DE用不上，所以，要過C點作CF∥AB，這樣平行就有了“橋梁”——“第三截線BC”，

所以∠1=∠BCF;

又因為AB∥DE，

所以CF∥DE，

所以∠2=∠ECF，

∠BCE=∠BCF+∠ECF，

這樣∠BCE=∠1+∠2.

1.2 “U型”

例2 圖3

如圖3，AB∥CD，試解決下列問題：

如圖∠A+∠E+∠C=.

解 我們知道兩直線平行，同旁內角互補，如圖4，同旁內角的關系類似于英文字母“U”.而這里無法用到條件AB∥CD，因為沒有一條直線和兩平行線同時相截.所以，要過E點作EF∥AB（如圖5），

所以∠A+∠AEF=180°，

又因為AB∥CD，

所以EF∥CD，

所以∠FEC+∠C=180°，

所以∠A+∠E+∠C=360°.

2 兩個點或兩個以上點在兩平行線內部

（1）如圖6，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4=°;

（2）如圖7，已知AB∥CD，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=°.

解 方法與例2一樣，需要加添輔助線，目的是：創造第三截線，用上兩直線平行這個條件.

答案：（1）540°;（2）（n-1）180°.

3 一點在兩平行線外部

例3 如圖8，已知AB∥CD，∠A=54°，∠AEC=18°，則∠C的度數是（）

（A）36°. （B）34°. （C）32°. （D）30°.

解 作EF∥CD，則

∠C=∠CEF，

因為AB∥CD，

所以AB∥EF，

所以∠A=∠AEF，

又因為∠CEF=∠AEF-∠AEC，

所以∠C=∠A-∠AEC

=54°-18°

=36°.

故選（A）.

總之，兩直線平行的問題要利用好第三截線這條重要的橋梁.當沒有第三截線時 要作輔助的“平行線”，這時其本質是創造第三截線，從而能用到平行線的性質解題.你學會了嗎？

舉一反三

0

1.如圖10，AB∥CD，點E在線段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，則∠3的度數是（）

（A）70°. （B）60°.

（C）55°.（D）50°.

1

2.如圖11，在平行線a，b之間放置一塊直角三角板，三角板的頂點A，B分別在直線a，b上，則∠1+∠2的值為（）

（A）90°.（B）85°.

（C）80°.（D）60°.

解 這兩題題屬于“M型”幾何模型.

1題中的∠3=∠1+∠2，因此選（A）.

2題中的∠C=∠1+∠2=90°，因此選（A）.

3.如圖12，直線AB∥CD，∠C=44°，∠E為直角，則∠1=.

2圖13

解 如圖13，過點E作EF∥AB，

因為AB∥CD，

所以AB∥CD∥EF，

所以∠C=∠FEC，

∠BAE=∠FEA，

因為∠C=44°，

∠AEC為直角，

所以∠FEC=44°，

∠BAE=∠AEF=90°-44°=46°，

所以∠1=180°-∠BAE

=180°-46°

=134°.

4

4.圖14是我們常用的折疊式小刀，刀柄外形是一個矩形挖去一個小半圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉動刀片時會形成∠1與∠2，若∠1=75°，則∠2的度數為.

分析 數學來源于生活又應用于生活.這道題是生活實際問題，我們把它抽象成幾何模型，屬于“M型”幾何模型，

所以∠1+∠2=90°，

于是∠2=90°-75°=15°.

5

5.一大門的欄桿如圖15所示，BA垂直于地面AE于點A，CD平行于地面AE，則∠ABC+∠BCD=.

解 過點B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE.

所以∠BCD+∠1=180°.

因為AB⊥AE，

所以AB⊥BF.

所以∠ABF=90°.

所以∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°.

拓展延伸

6.平面內的直線有相交與平行兩種位置關系.

（1）如圖16，若AB∥CD，點P在AB，CD外部，求證：∠BPD=∠B-∠D;

（2）將點P移到AB，CD內部，如圖17，（1）中的結論是否成立？若成立，說明理由：若不成立，則∠P，∠B，∠D之間有何數量關系？

6圖17

（3）在圖17中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q，如圖18，則∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間有何數量關系？并證明你的結論;

（4）在圖17中，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°，則n=.

8圖19

解 （1）如圖16，

因為AB∥CD，

所以∠B=∠BOD，

而∠BOD=∠P+∠D，

所以∠B=∠P+∠D，

即∠P=∠B-∠D.

（2）（1）中的結論不成立，

∠BPD=∠B+∠D.

作PQ∥AB，如圖17，

因為AB∥CD，

所以AB∥PQ∥CD，

所以∠1=∠B，

∠2=∠D，

所以∠BPD=∠B+∠D.

（3）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.理由如下：

連接QP并延長到E，如圖18，

因為∠1=∠B+∠BQP，

∠2=∠D+∠DQP，

所以∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP，

所以∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.

（4）連接AG，如圖19，

因為∠B+∠F=∠BGA+∠FAG，

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G

=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G

=（5-2）×180°

=6×90°，

所以n=6.