例析初中比較數(shù)的大小

孫華

【摘要】 本文歸納了數(shù)數(shù)比較大小的七條法則.對初中不同類型的數(shù)數(shù)比較進(jìn)行了總結(jié)，并進(jìn)行例析.

【關(guān)鍵詞】 初中;數(shù)數(shù);比較

比較數(shù)的大小是數(shù)學(xué)中常見的題型.如何比較數(shù)與數(shù)的大小？這里我們對常見的一些題型舉例進(jìn)行分析.

1 數(shù)數(shù)比較的法則

法則1 正數(shù)大于負(fù)數(shù)

法則2 兩負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小

法則3 同底數(shù)的冪相比較，底數(shù)大于1時(shí)，指數(shù)越大冪越大;同底數(shù)的冪相比較，底數(shù)小于1時(shí)，指數(shù)越大冪越小

法則4 0～90°范圍內(nèi)，角度越大，正弦值越大，余弦值越小

法則5 0～90°范圍內(nèi)，角度越大，正切值越大，余切值越小

法則6 兩個(gè)正的根式相比較，根指數(shù)相同，被開方數(shù)越大，根式值越大

法則7 兩個(gè)正的根式相比較，被開方數(shù)相同且大于1時(shí)，根指數(shù)越大，根式值越小;兩個(gè)正的根式相比較，被開方數(shù)相同且小于1時(shí)，根指數(shù)越大，根式值越大;

2 數(shù)數(shù)比較的題型與方法

2.1 直接應(yīng)用法則進(jìn)行大小比較

如：0.1>-21;-1>-8;

0.75>0.79;36<310

sin32°

cos16°>cos27°;

tan54°>tan49°;

cot78°

13<29;

311>511;

30.4<50.4.

在要求按序排列幾個(gè)數(shù)時(shí)，我們也可以畫數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上表示點(diǎn)的數(shù)左邊的小于右邊的，確定數(shù)數(shù)的大小關(guān)系.

例1 用小于號(hào)將下列數(shù)連起來

2，-1，0，14，-12.

解 將這幾個(gè)數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，如圖1所示.

根據(jù)數(shù)軸可知

-1<-12<0<14<2.

2.2 正弦與余弦大小比較

例2 比較sin41°與cos43°的大小.

分析 這類題目主要利用正弦與余弦之間的關(guān)系，即互余的兩個(gè)角，一個(gè)角的正弦等于另一個(gè)角的余弦，將正、余弦統(tǒng)一成正弦或余弦，再利用0～90°范圍內(nèi)，角度越大，正弦值越大，余弦值越小，得出結(jié)果.

解 因?yàn)閏os43°=sin47°，

sin41°

所以sin41°

2.3 正切與余切大小比較

例3 比較tan36°與cot57°大小.

分析 這類題目主要利用正切與余切之間的關(guān)系，即互余的兩個(gè)角，一個(gè)角的正切等于另一個(gè)角的余切，將正、余切統(tǒng)一成正切或余切，再利用0～90°范圍內(nèi)，角度越大，正切值越大，余切值越小，得出判斷結(jié)果.

解 因?yàn)閏ot57°=tan33°，

tan36°>tan33°，

所以tan36°>cot57°.

2.4 amn與bmp型冪大小比較

例4 比較23333與32222大小.

分析 這種類型，可把它們轉(zhuǎn)化為同指數(shù)的冪，再進(jìn)行比較.

解 因?yàn)?3333=23×1111=（23）1111=81111，

32222=32×1111=（32）1111=91111，

所以23333<32222.

2.5 na與mb型根式大小比較

例5 比較54與32大小.

分析 這種類型根指數(shù)不同，可將它們進(jìn)行相同次方運(yùn)算，然后再比較運(yùn)算的結(jié)果.相同次方的次數(shù)就是兩根式根指數(shù)的最小公倍數(shù).

解 （54）15=43=64，

（32）15=25=32，

因?yàn)?4>32，

所以54>32.

2.6 a+b與c+d型大小比較

例6 比較2+7與3+5大小.

分析 這種類型，我們可以通過多次乘方運(yùn)算直到能比較出大小為止.

要比較2+7與3+5大小，可比較它們的平方大小，

（2+7）2=9+214=8+（1+214），

（3+5）2=8+215.

因此要比較2+7與3+5大小，就要比較1+214與215大小，再將后面的兩個(gè)根式進(jìn)行平方運(yùn)算，然后比較大小.

（1+214）2=57+414，

（215）2=60=57+3，

這樣要比較2+7與3+5大小，只要比較出414與3的大小，

顯然414>3，

所以2+7>3+5.

如果看不出414與3的大小，也可以繼續(xù)將這兩個(gè)數(shù)進(jìn)行平方運(yùn)算再比較.

2.7 a-b與c-d型大小比較

例7 比較5-3與7-5大小.

分析 這類型的大小比較，我們可以把它們看成是分母為1的式子，采用分子有理化方法進(jìn)行比較.

解 5-3

=（5-3）（5+3）5+3=25+3，

7-5=（7-5）（7+5）7+5=27+5，

因?yàn)?+3<7+5，

所以5-3>7-5.

如果對它們進(jìn)行分子有理化后，分子相同，但分母也看不出大小時(shí)，我們可以仿照例6方法，對分母再單獨(dú)進(jìn)行比較.如果分子有理化后，分子不同，我們可同時(shí)擴(kuò)大式子的分子與分母，使它們分子相同.

2.8 1a-b與1c-d型大小比較

例8 比較111-7與17-3大小.

分析 這類型的大小比較，我們可以先對它們進(jìn)行分母有理化，然后再比較.

解 111-7=11+7（11-7）（11+7）

=11+74，

17-3=7+3（7-3）（7+3）=7+34，

因?yàn)?1+74>7+34，

所以111-7>17-3.