探析解含字母系數的一元一次不等式（組）

陳文倩

【摘要】 一元一次不等式（組）是初中數學學習階段的重點和難點，很多學生在這部分的學習上還僅僅停留在會解一元一次不等式（組），但對于這類題型的延伸不能很好的理解，本文針對含字母系數的一元一次不等式（組）進行分類討論，旨在讓學生更深刻地理解這部分內容.

【關鍵詞】 一元一次不等式（組）;含字母系數;分類討論

1 已知方程（組）的解，求字母系數

這類題型往往需要先對解進行轉換，然后再根據題目條件求出字母系數，如：

例1 若關于x，y的二元一次方程組3x+y=1-m，x+3y=3，的解滿足-1≤x+y<2，則m的取值范圍為.

解 首先觀察題中二元一次方程組中未知數的系數與所給不等式的關系，發現二元一次方程組兩式相加得4x+4y=4-m，

所以x+y=4-m4，將它代入-1≤x+y<2，得

-1≤4-m4<2，

解得-4<m≤8.

例2 若關于x，y的二元一次方程組2x-3y=5，x-2y=k的解滿足x>y，則k的取值范圍為.

解 題中給出的x>y可以轉化為x-y>0，將方程組兩式相減，得

x-y=5-k，

則5-k>0，k<5.

在解例1和例2時，最容易想到的是先解出二元一次方程組，但是仔細觀察后就會發現未知數系數間有著巧妙的關系，因此可以簡化計算.

例3 在方程組x=2y-t，2x+y=t-3中，若y>9，則x的取值范圍為.

解 本題中，給出的y>9和所要求的x的范圍均與t無關，因此要想辦法消除t，方程組中t前的系數互為相反數，將兩個方程組相加得3x+y=2y-3，再用x表示出y為y=3x+3，

因此3x+3>9，則x>2.

2 已知不等式（組）解集，求字母系數或取值范圍

這類題型中比較常見的有通過不等式組解集確定字母系數的值，如：

例4 若關于x的不等式組x+3b≥2a，23a+x≤2b的解集是-5≤x≤2，求a，b的值.

解 解這個不等式，得

2a-3b≤x≤2b-23a，

因為原不等式的解集為

-5≤x≤2，

所以2a-3b=-5，2b-23a=2，解得a=-2，b=13.

這類題型中較難的是根據解集確定字母系數的取值范圍，容易犯錯的地方是在求解時漏掉端點數字，如：

例5 若不等式組x<3a+2，x<a-4的解集是x<a-4，則a的取值范圍為.

解 解不等式組遵循同大取大，同小取小，那么首先可以得出的是a-4<3a+2，再考慮端點處的數字可不可取，因此最終確定a-4≤3a+2，

解得a≥-3.

例6 若不等式2x+53-1≤2-x的解集中的每一個值都能使關于x的不等式3（x-1）+5x+2（m+x）成立，試確定m的取值范圍.

解 解不等式2x+53-1≤2-x，得x≤45;

解不等式3（x-1）+5>5x+2（m+x），得

x<1-m2，

由題意，得1-m2>45（注意此時1-m2≠45，端點數字不可取），解得m<-35.

3 已知不等式有解或無解，求字母系數的取值范圍

當遇到不等式有解或無解這種類型的題目時，需要明確不等式的解集屬于哪種類型，特別注意端點的數字是否可取.

例7 若關于x的一元一次不等式組x-2m<0，x+m>2有解，則m的取值范圍為.

分析 因為不等式組有解，則解不等式組，得

2-m<x<2m，

所以2-m<2m，

得m>23.

例8 若關于x的一元一次不等式組x<3a+2，x>a-4無解，則a的取值范圍為.

解 解一元一次不等式組時，同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小則無解，因此本題中3a+2<a-4（且這里可取等號），于是有a≤-3.

例9 若關于x的一元一次不等式組2x-6+m<0，4x-m>0有解（m為整數），則在其解集中，整數的個數不可能是（）

（A） 1. （B） 2. （C） 3. （D） 4.

解 解不等式組得 x<6-m2，x>m4，

因為不等式組有解，

所以m4<6-m2，

則m<4.

當m=3時，不等式組的解集為34<x<32，有1個整數解;

當m=2時，不等式組的解集為12<x<2，有1個整數解;

當m=1時，不等式組的解集為14<x<52，有2個整數解;

當m=0時，不等式組的解集為0<x<3，有2個整數解;

當m=-1時，不等式組的解集為-14<x<72，有4個整數解，……，隨著m的逐漸減小，不等式組的解集范圍會越來越大，因此不等式組的整數解不可能有3個，選擇（C）.

4.已知整數解個數或有特殊解，求字母系數的取值范圍

這在不等式中屬于較難的題型，在做題時不僅要掌握基本的解不等式的方法，還要考慮到是否存在多種情況.

例10 關于x的不等式2x+a≤1只有2個正整數解，則a的取值范圍為（）

（A）-5<a<-3.（B）-5≤a<-3.

（C）-5<a≤-3.（D）-5≤a≤-3.

解 解不等式2x+a≤1，得x=1-a2，已知不等式有兩個正整數解，則這兩個正整數解為x=1，x=2，

則2≤1-a2<3，

解得-5<a≤-3，

因此選擇（C）.

例11 已知關于x的不等式組5x-a>3（x-1），2x-1≤7的所有整數解的和為7，求a的取值范圍.

解 解不等式組得x>a-32，x≤4，則其中一個整數解為x=4，因此當a-32>0時，另一個整數解為x=3，則2≤a-32<3，求得7≤a<9;

當a-32≤0，整數解為x=-2，-1，0，1，2，3，4，此時整數解的和也為7，

則-3≤a-32<-2，

解得-3≤a<-1，

綜上，a的取值范圍為7≤a<9或-3≤a<-1.

總結 總的來說這幾種類型的題目有一定的難度，在解不等式的基礎上，還要考慮端點數字的取舍，有些題目還要考慮多種情況，需要分類討論，因此在解題時可以先借助數軸解答，多做練習至熟練解題.