求含45°角的一次函數系數的方法探究

楊冬明

【摘要】 三角函數和一次函數是初中數學的重要內容，在函數與幾何的綜合性題目中時常碰到這樣一類題型：圖形中出現45°角，求一次函數的參數的值.這類題往往無法用我們之前熟悉的待定系數法求解，45°角的條件在常規思路中也只有在等腰直角三角形中才有意義.這類難度較大的題目看似毫無規律章法，實則是有技巧和套路的，因為有些基本數學模型是我們非常熟悉的，它為我們解決綜合性幾何問題提供了一個很好的路徑和突破口，從復雜的圖形中抽出基礎圖形，利用基本數學模型的性質、解法往往可以化難為易、化生為熟，順利得解.也就是化歸思想.本文將才采用化歸思想對該類問題的解題思路作詳細闡述.

【關鍵詞】 45°角;求一次函數參數;化歸思想

先從一道題目說起

例 如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于A，B兩點，已知點C（2，0），P為線段OB的中點，連接PA，PC，若∠CPA=45°，求m的值.

思路1 利用“12345模型”解題，這是解決含45°角幾何問題的一大解題利器，是在三角函數知識背景下的一個重要結論，我們不妨在遇到45°問題時首先考慮這個方法.

由題可知∠1+∠2=45°，

且tan∠2=POOA=12，

所以tan∠1=13，

所以OCPO=13，

即2÷m2=13，

解得m=12.

思路2 利用“一線三垂直模型”解題，45°角的條件往往讓人聯想到等腰直角三角形，因此我們不妨作垂線構造等腰直角三角形，同時結合一線三垂直模型，得到三角形全等，從而求出線段長.

過點C作CD⊥CP，交AP于點D，再作DE⊥x軸，易證△OPC≌△ECD，

所以DE=OC=2，

所以CE=OP=m2，

AE=OA-OC-CE=m2-2，

因為DE∥OP，

所以2∶m2=m2-2∶m，

解得m=12.

思路3 利用“一線三等角模型”解題，題目中已經有兩個角等于45°了，并且這兩個角在同一直線上，如果我們再構造一個45°角，就變成一線三等角模型了.類似于一線三垂直模型，我們在構造比例方程求線段長度時，也可以利用相似三角形得比例式方程.

在y軸截取OD=OC，

此時∠PDC=45°，可以證得

△ABP∽△PDC，BPCD=BAPD，

進而得到方程

m2∶22=2m∶m2+2，

解得m=12.

思路4 利用“四點共圓模型”，圓里有非常多特有的性質和結論，所以很多稍微復雜的幾何問題我們都可以考慮通過四點共圓轉化成圓的計算和證明問題，從而使得問題簡單化.

以AC為直角邊構造等腰直角△ADC.

因為∠D=∠APC=45°，

所以A，C，P，D四點共圓，且以CD為直徑，E為圓心.

因為D（m，m-2），

P0，m2，Em+22，m-22，

根據EP=EC，可得

m+222+m-22-m22=22（m-2）2，

解得m=12.

思路5 利用“半角模型”解題，借用正方形旋轉知識，將含45°角的一次函數問題轉化成正方形背景下的半角模型，這樣就可以用那些我們比較熟悉的半角模型的相關知識和結論來解題.

過點P構造正方形OPDE，

EN=DN=m4，OC=2，

根據半角模型知識易得

CN=DN+OC=m4+2，

又因為CE=m2-2，

在Rt△CEN中，有

m2-22+m42=m4+22，

解得m=12.

思路6 利用“角平分線模型”解題，在相似三角形章節我們得到過關于三角形角平分線背景下的相似結論，我們可以利用該結論來解題.

過點P作PD⊥PA.

因為∠APC=45°，

所以CP為△APD的角平分線，

所以PDPA=CDAC，

在直角△APD中由射影定理可以求出D的坐標-m4，0，

通過相似比易得PDPA=12，

即12=2+m4m-2，

解得m=12.

除了上述六種思路以外，我們還可以根據夾角公式直接求出直線的斜率值，也就是k的值，不過夾角公式是高中數學的知識點，這里就不作闡述了.