二元一次方程組的分析與解答

楊芬

【摘要】 二元一次方程組屬于初中數學教學的過渡部分，可以為學生的一次函數學習奠定基礎.二元一次方程組是初中考試中的重要組成部分.本文主要探究二元一次方程組的分析與解答，并提出相關意見，予以參考.

1 二元一次方程組的有關概念

（1）二元一次方程組是由兩個含有兩個未知數的一次方程組成.

（2）能夠使方程兩邊擁有相等值的解二元一次方程組的解.

2 二元一次方程組的解法

在二元一次方程組的求解過程中，無法同時求出兩個未知數，應先求出其中一解，再得出另外一解，將方程組的求解過程轉變為一元一次方程組的求解過程，此種求解方式被稱為消元法.在二元一次方程組求解中，代入法及加減法是最為常用的解題方法.

代入消元法

此種解決方式主要利用一個代數式代替其中一個方程的未知數，并將代數式代入到另一個方程中，消去未知數的同時，得到解.代入消元法也可稱之為代入法，以下是代入法解二元一次方程的主要步驟：

（1）應選擇難度系數較低的二元一次方程進行變形，將其中一個未知數利用某一代數式替換.

（2）在變形完成后，將變形方程代入另一個方程內，消去一個未知數，得到一元一次方程，注意，在代入過程中不能代入原方程，應代入未變形的方程內，實現消元.

（3）對一元一次方程進行求解，得出未知數值.

（4）把所得未知數值代入已變形的方程中，解出另一個未知數.

（5）用“{”將兩個未知數的值聯立，得到方程組的解;

（6）最后一步是對所得解進行檢驗，驗證正確與否.需要注意的是，應代入方程組進行檢驗，觀察等式兩邊所得值是否相同.

例1 解方程組：3x+5y=8，2x-y=1.①②

解 由②得，y=2x-1，③

代入①得3x+5（2x-1）=8，

解得x=1.

將x=1代入③，得

y=2×1-1=1，

所以原方程的解為x=1，y=1.

加減消元法

如果出現兩個方程組中存在未知數系數相等或互為相反數時，應將兩邊方程進行加減進行求解，此種解法叫加減消元法，也可稱之為加減法.

加減法解二元一次方程組的步驟：

（1）可以使用等式基本性質，改變原方程組中某一未知數系數相等或互為相反數的形式.

（2）應用等式性質將變形后的方程進行相加或相減，消去其中一個未知數，得到一元一次方程，需要注意的是變形應該將方程兩邊乘以相同的數，如果未知數系數相同可以用減法，如果未知數系數互為相反數可以用加法.

（3）求解一元一次方程，得出未知數值.

（4）把所得未知數值代入原方程組任一方程，解出另一個未知數.

（5）用“{”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解;

（6）應將所得解代入方程組中，計算等號兩邊數值是否相同.

例2 解方程組：3x-y=5，5x+2y=23.①②

解 ①×2+②，得 11x=33，

解得x=3，

將x=3代入①，得 y=4.

所以原方程的解是x=3，y=4.

3 二元一次方程組的應用

在解二元一次方程組應用題時需要特別注意的是應該將應用題中存在的等量關系找出，并列出二元一次方程形式進行解題.以下是應用題列二元一次方程的解題步驟：

（1）仔細審題，找出應用題中存在的等量關系的兩個量，用x，y代替;

（2）找到等量關系;

（3）根據兩個等量關系，列出方程組;

（4）解方程組;

（5）檢驗作答.

例3 現有大籃子和小籃子，兩個大籃子與三個小籃子每次可以裝15.5斤物品，五個大籃子與六個小籃子每次可以裝35斤物品，求三個大籃子和五個小籃子每次可以裝多少斤物品？

解 此題最主要的解題思路是求出每個大籃子和每個小籃子每次能裝多少斤的物品，因此可以假設大籃所裝物品斤數為x，小籃子每次可裝物品斤數為y，由此找出此題目中存在的等量關系.

（1）2個大籃子每次所裝物品+3個小籃子每次所裝物品=15.5;

（2）5個大籃子每次所裝物品+6小籃子每次所裝物品=35.

列出方程組2x+3y=15.5，5x+6y=35，

解得x=4，y=5，

所以4×3+2.5×5=24.5（斤）.

答：3各大籃子與5個小籃子一次可以裝24.5斤物品.

例4 在某節日期間，某商場有折扣活動以抽獎的方式決定顧客折扣力度.一顧客購買a，b兩種商品，抽到7折和9折，共計386元，兩種商品原價共500元.問：兩種商品的原價各是多少？

解 設甲、乙兩種商品的原銷售價分別為x元、y元，根據題意得

x+y=500，0.7x+0.9y=368，

解得x=320，y=180.

答：甲、乙兩種商品的原銷售價分別為410元、90元.

4 含有字母參數的二元一次方程組的解法

解含有字母的參數方程組，應先將參數當成常數求出方程組的解，再利用方程組的解的限制條件構造以參數為未知數的方程或不等式求解.

例5 已知關于x，y的方程組x=6k-27，x-y=9-3k，有正數解，求k的取值范圍.

解 想要求出k的取值范圍，應創建k的不等關系式（組），根據已知條件可知方程組有正數解（即x>0，y>0）.

首先解方程組得x=6k-27，y=9k-36，

由方程組有正數解，可得

6k-27>0，9k-36>0，

解不等式組得k>4.

結語

二元一次方程組的學習不僅可以鍛煉我們有效分析題目中的等量信息，還可以促使我們將所學知識應用與實際生活中，利用二元一次方程知識解決生活中遇到的問題，在學習過程中要注意觀察生活中存在的等量關系，并對其進行分析及歸納.