用銳角三角函數證題

孫利華

有些幾何問題的證明，看似繁難，但若能夠巧妙地運用三角函數，將能化繁為簡，使問題得以巧妙地解決.

1 證線段相等

例1 圖1

如圖1，△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一點，PD⊥AB，垂足為D，PE⊥AC，垂足為E，BF⊥AC，垂足為F.

求證：PD+PE=BF.

證明 設∠C=α，則

∠ABC=α.

因為PD=PBsinα，

PE=PCsinα，

BF=BCsinα，

所以PD+PE=PBsinα+PCsinα

=（PB+PC）sinα

=BCsinα=BF.

2 證角相等

例2 圖2

如圖2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，AE=13AC，BD=13AB.

求證：∠ADE=∠EBC.

證明 作AM⊥BC，垂足為M，EF⊥BC，垂足為F.

不妨設AB=AC=3a，則易求得

DE=5a，BE=10a，BF=22a，

根據三角函數定義，得

cos∠ADE=ADDE=2a5a=25，

cos∠EBC=BFBE=22a10a=25，

所以cos∠ADE=cos∠EBC，

所以∠ADE=∠EBC.

3 證不等式

例3 圖3

如圖3，若CD為△ABC斜邊AB上的高，求證：AB+CD>AC+BC.

證明 令AB=c，

∠A=α<90°.

因為AC=ccosα，BC=csinα，

CD=ACsinα=csinαcosα.

所以 （AB+CD）-（AC+BC）

=c（1-sinα）（1-cosα），

又因為α是銳角，

所以1-sinα>0，1-cosα>0，

則（1-sinα）（1-cosα）>0，

從而可知（AB+CD）-（AC+BC）>0，

即AB+CD>AC+BC.

4.證定值問題

例4 圖4

如圖4，過正方形ABCD的頂點A的直線交BC于點P，交DC的延長線于點Q，求證：1AP2+1AQ2為定值.

證明 設正方形的邊長為a，

∠BAP=∠AQD=α，

在△ABP中，∠B=90°，a=AP·cosα，

a2=AP2·cos2α，

所以1AP2=cos2αa2.

同理有1AQ2=sin2αa2，

所以1AP2+1AQ2

=cos2αa2+sin2αa2

=cos2α+sin2αa2=1a2.

因為a為定值，

所以1AP2+1AQ2為定值.

5.證比例式

例5 圖5

如圖5，設ABCD是⊙O的內接矩形，過點A作圓的切線，與CD，CB的延長線分別交于點E，F，

求證：BFDE=CF3CE3.

證明 連接AC，設∠E=α，

則∠DAC=∠ACB=∠BAF=α，

在Rt△ABF中，BF=AB·tanα，

在Rt△ABC中，AB=AC·sinα，

所以BF=AC·tanα·sinα，

同理DE=AC·cosα·cotα，

所以BFDE=tanα·sinαcosα·cotα=tan3α，

又tanα=CFCE，

所以BFDE=CF3CE3.