根與系數關系式的應用

劉家良

根與系數的關系式：設x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，則

x1+x2=-ba，x1x2=ca.

特別地，利用根與系數的關系式可得結論：

設x1，x2是一元二次方程x2+px+q=0的兩個根，則x1+x2=-p，x1x2=q.

有了根與系數的關系式，不僅可以直接求兩根的和與積，而且還可與其他相關知識相結合解與兩根有關的求值問題.

1 直接求兩根的和，積

例1 設x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個根，則x1+x2的值為（）

（A）-2. （B）-3. （C） 2. （D） 3.

解 由根與系數的關系，得

x1+x2=-（-2）=2.

故選（C）.

例2 已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+3=0的兩根，則x1+x2-x1x2=.

解 由根與系數的關系，得

x1+x2-x1x2=-（-4）-3=4-3=1.

2 與根的判別式結合求系數值

例3 關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的兩實數根x1，x2滿足x1x2=2，則（x21+2）（x22+2）的值是（）

（A） 8. （B） 32.

（C）8或32.（D）16或40.

解 由根與系數的關系，得

x1+x2=-2m，x1x2=m2-m.

因為x1x2=2，

所以m2-m=2.

解得m=2或m=-1.

當m=-1時，有x2-2x+2=0，

Δ=4-8=-4<0，

所以m=-1舍去;

當m=2時，有x2+4x+2=0，

Δ=16-8=8>0，

所以m=2，

x1+x2=-4;

所以 （x21+2）（x22+2）

=（x1x2）2+2（x21+x22）+4

=（x1x2）2+2[（x1+x2）2-2x1x2]+4

=4+2（16-4）+4

=32.

故選（B）.

注 Δ≥0是根與系數關系式成立的必要條件，也就是說，系數a，b，c要滿足Δ≥0.求得系數后，別忘代入原方程檢驗Δ是否大于或等于0，若Δ<0，則所得系數值應舍去.

3 與根的定義結合解與兩根有關的求值問題

例4 已知m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的兩個實數根，則代數式m2+2m+n的值等于（）

（A）2019.（B）2020.

（C）2021.（D）2022.

解 因為m，n是方程x2+x-2021=0的兩個實數根，

所以m2+m-2021=0（方程根的定義），

即m2=2021-m，m+n=-1.

所以m2+2m+n=2021-m+2m+n

=2021+m+n

=2021+（-1）

=2020.

故選（B）.

注 瞄準所求式子，將由方程根的定義得到的式子進行變形，將二次項用含一次項的式子表示出來，這種變形稱為降次法.

例5 已知a，b是方程x2-3x-5=0的兩根，則代數式2a3-6a2+b2+7b+1的值是（）

（A）-25. （B）-24. （C）35. （D）36.

解 因為a，b是方程x2-3x-5=0的兩根，

所以a2-3a-5=0，

b2-3b-5=0（方程根的定義），

即a2-3a=5，b2=3b+5，

a+b=3.

所以2a3-6a2+b2+7b+1

=2a（a2-3a）+b2+7b+1

=10a+3b+5+7b+1

=10（a+b）+6

=10×3+6

=36.

故選（D）.