梯形中的蝴蝶定理模型應(yīng)用探究

沈建新

【摘要】 幾何模型與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)息息相關(guān)，它們在新知探究過程中生成，在解題訓(xùn)練中得到鞏固與提升.在問題解決過程中，能不能建構(gòu)出有效的幾何模型至關(guān)重要. 本文以梯形中的蝴蝶定理模型為例展開探究，以饗讀者.

【關(guān)鍵詞】 蝴蝶定理;構(gòu)造模型;面積問題

例如圖1，梯形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面積分別記為S1，S2，S3，S4，則四部分面積之間有怎樣的關(guān)系？

分析 因?yàn)锳D∥BC，

所以△ABC和△DBC同底等高，

可得S△ABC=S△DBC，

所以S△ABO=S△DCO，

即S2=S4.

又因?yàn)镾1S2=DOBO=S4S3，

所以S1·S3=S2·S4.

結(jié)論 ①S2=S4，即左、右兩部分面積相等.

②S1·S3=S2·S4，即上、下兩部分的面積之積等于左、右兩部分的面積之積.

陰影部分是不是很像蝴蝶的翅膀？所以我們把這個定理形象地叫做蝴蝶定理.蝴蝶定理為我們提供了解決四邊形的面積問題的一種途徑.通過構(gòu)造蝴蝶定理模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往能在解題中起到事半功倍的效果.

1 在平行四邊形中的應(yīng)用

例1 如圖2，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，連接OE，OF，EF，EF與OC相交于點(diǎn)G，已知△CEF，△OEF，△ODF，△BOE 的面積分別為2，4，4，6，求△CEG的面積.

解 如圖3，因?yàn)锳BCD是平行四邊形，

所以O(shè)B=OD，易得

S△BOC=S△DOC=12S△BCD=12×16=8，

所以S△COE=2，S△COF=4.

又因?yàn)镾△ODF=S△COF=4，

所以F為CD中點(diǎn)，

即OF為△BCD的中位線，

所以O(shè)F∥BC，

四邊形OECF為梯形.

設(shè)S△CEG=x，則S△CFG=2-x，

S△OFG=2+x，S△OEG=2-x，

根據(jù)梯形中的蝴蝶定理模型結(jié)論②，可列方程

x（2+x）=（2-x）×（2-x），

解得x=23，

即S△CEG=23.

2 在矩形中的應(yīng)用

例2

如圖4，E，F(xiàn)是矩形ABCD的邊AB上的兩點(diǎn)，CE，DF相交于點(diǎn)O，已知△OCD面積為8，△OEF面積為2，四邊形AEOD的面積為5，求四邊形BCOF的面積.

解 如圖5，連接DE，CF，根據(jù)梯形中的蝴蝶定理模型結(jié)論②，可得

S△OEF·S△OCD=S△DOE·S△COF，

根據(jù)結(jié)論①得S△DOE=S△COF，

所以根據(jù)題中條件可得

S△DOE=S△COF=4，S△AED=1.

因?yàn)椤鱋EF∽△OCD，

面積比為1∶4，可得相似比為1∶2，

設(shè)EF=x，則CD=2x，

又因?yàn)镾△EFD∶S△AED=6∶1，

可得EF∶AE=6∶1，

所以AE=16x，

則BF=56x，

所以BF∶AE=5∶1，

得S△BFC∶S△AED=5∶1，

所以S△BFC=5，

則四邊形BCOF的面積為9.

3 在正方形中的應(yīng)用

例2圖6

如圖6，正方形ABCD和正方形EFCG并排放置，AG與CF相交于點(diǎn)H.已知CH∶CF=1∶3，△CHG的面積為6，求五邊形ABGEF的面積.

解 如圖7，連接正方形對角線AC，F(xiàn)G，易得

∠ACB=∠FGC=45°，

所以AC∥FG，

四邊形ACGF為梯形.

根據(jù)梯形中的蝴蝶定理模型結(jié)論①，可得

S△AHF=S△CHG=6.

已知CH∶CF=1∶3，可得CH∶HF=1∶2，

根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底之比，可直接得

S△ACH=3，S△FHG=12，

所以S△AHF·S△CHG=S△ACH·S△FHG，

即蝴蝶定理模型的結(jié)論②也得到驗(yàn)證.當(dāng)然此題也可通過結(jié)論②解決.

因?yàn)锳C∥FG，

得△ACH∽△GFH，

CH∶HF=1∶2，

得相似比為1∶2，可得面積比為1∶4，

設(shè)S△ACH=x，則S△GFH=4x，

由S△AHF·S△CHG=S△ACH·S△FHG，得

6×6=x·4x，解得x=3，

所以S△ACH=3，S△FHG=12.

易得△ABC∽△FCG，

相似比為AC∶FG=CH∶HF=1∶2，可得面積比為1∶4，易得S△FCG=18，

所以S△ABC=4.5，

所以S△ABGEF=S△ABC+S△ACH+S△AHF+

S△FCG+S△EFG

=4.5+3+6+18+18

=49.5.

4 在梯形中的應(yīng)用

例4

如圖8，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點(diǎn)F，E為線段DF上一點(diǎn).已知S△ADE=1.8，S△ABF=9，S△BCF=27，求△AEC的面積.

解 如圖9，根據(jù)梯形中的蝴蝶定理模型結(jié)論①，可得

S△ABF=S△DCF=9.

再根據(jù)結(jié)論②求得S△ADF=3，

所以S△AEF=1.2，

又因?yàn)镾△ABF∶S△BCF=1∶3，

所以AF∶CF=1∶3，

得S△AEF∶S△CEF=1∶3，

則S△CEF=3.6，

所以S△AEC=S△AEF+S△CEF=4.8.

此題中你會發(fā)現(xiàn)S△AEF·S△BCF=S△ABF·S△CEF，

即蝴蝶定理模型結(jié)論②在任意四邊形中都是成立的.

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如圖10，因?yàn)?/p>

S1S2=DOBO=S4S3，

所以S1·S3=S2·S4，

而結(jié)論①則不適用.

只有當(dāng)AD∥BC，

即ABCD為梯形時，結(jié)論①才成立.