三項立方和的推導與應用

吳建芳

【摘要】 本文利用完全立方公式（a+b）3=a3+b3+3ab（a+b）以及立方和公式a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）來推導三項立方和以及兩個相關的推論.介紹了三項立方和公式在因式分解、求代數式的值、數論方程的方面的解題思路，突出在應用公式過程中的建模思想，可以提高學生的思維靈活性.

【關鍵詞】 代數恒等變形;三項立方和;因式分解

立方和與立方差公式是代數恒等變形的重要公式之一，在因式分解中有著舉足輕重的地位.然而更為復雜的立方和差問題，需要我們將兩項的立方和（差）進一步推廣到三項的立方和（差），讓我們的思維得到進一步的錘煉和提升，在解決更為復雜的問題時可以更高效、更靈活.

下面我們先利用完全立方公式（a+b）3=a3+b3+3ab（a+b）以及立方和公式a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）來推導三項立方和：

a3+b3+c3-3abc

=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc

（運用完全立方公式）

=（a+b）3+c3-3ab（a+b）-3abc

=（a+b）3+c3-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）[（a+b）2-（a+b）c+c2]-

3ab（a+b+c）

（運用立方和公式）

=（a+b+c）[（a+b）2-（a+b）c+c2-3ab]

=（a+b+c）（a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab）

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ac-ab-bc），

所以a3+b3+c3-3abc

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ac-ab-bc），

可以得到下面兩個推論：

（1）當a+b+c=0時，

a3+b3+c3-3abc=0，

a3+b3+c3=3abc.

（2）配方可得a3+b3+c3-3abc

=12（a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2].

例1 分解因式：

（2x-3y）3+（3x-2y）3-125（x-y）3.

解 -125（x-y）3=（-5x+5y）3，

令2x-3y=a，3x-2y=b，-5x+5y=c，則

a+b+c=0，

利用推論1得：

原式=3（2x-3y）（3x-2y）（-5x+5y）

=15（2x-3y）（3x-2y）（y-x）.

例2 已知m3+n3+3mn=1，求m+n.

解 已知m3+n3-13-3mn（-1）=0，

由推論2得到

12（m+n-1）[（m+1）2+（n+1）2+（n-m）2]

=0，

（m+n-1）=0，

或（m+1）2+（n-1）2+（n-m）2=0，

則m+n=1或m=-1，n=-1時，

m+n=-2，

所以m+n=1或-2.

例3 已經x+y+z=3t，求（x-t）（y-t）（z-t）（x-t）3+（y-t）3+（z-t）3.

解 由已知得，

（x-t）+（y-t）+（z-t）=0，

由推論（1）知

（x-t）3+（y-t）3+（z-t）3

=3（x-t）（y-t）（z-t），

所以原式=13.

例4 求方程x3+y3+z3-3xyz=2003的正整數解.

解 依據結論得

（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-xz）=2003，

（x+y+z）是2003的因數，

依據推論（2）得

12（x+y+z）[（x-y）2+（y-z）2+（z-x）2]

=2003，

（x+y+z）[（x-y）2+（y-z）2+（z-x）2]

=4006，

由題意知x+y+z≥3，

且2003是質數，

因此，必有x+y+z=2003，

當x+y+z=2003時，（x-y）2，（y-z）2，（z-x）2的值必有一個為0，另外兩個為1，

解方程組得x1=668，y1=668，z1=667，

根據輪換對稱性

x2=668，y2=667，z2=668，x3=667，y3=668，z3=668.

此外，三項的立方和可以進一步推廣可以得到三元均值不等式：當a，b，c≥0，a3+b3+c3≥3abc，

a3+b3+c33≥abc，

當且僅當a=b=c時取等.

它在不等式的證等式應用更加廣泛.