第11屆(2000年) “希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試題初中二年級 第1試

一、選擇題

1.11999-2000與1999+2000的關(guān)系是（）

（A）互為倒數(shù).（B）互為相反數(shù).

（C）互為負倒數(shù).（D）相等.

2.已知x≠0，則x-|x|x2的值是（）

（A）0.（B）-2.

（C）0或-2.（D）0或2.

3.適合|2a+7|+|2a-1|=8的整數(shù)a的值的個數(shù)有（）

（A）5.（B）4.

（C）3.（D）2.

4.如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長等于（）

（A）b-a.（B）b-a2.

（C）12（b-a）.（D）2（b-a）.

5.用四條線段：a=14，b=13，c=9，d=7作為四條邊構(gòu)成一個梯形，則在所構(gòu)成的梯形中，中位線的長的最大值是（）

（A）13.5.（B）11.5.

（C）11.（D）10.5.

6.When 1≤x≤2，simplifying（化簡） aformulax+2x-1-x-2x-1 is（）

（A）0.（B）2.

（C）2x-1.（D）-2x-1.

7.已知7=a，70=b，則4.9等于（）

（A）a+b10.（B）b-a10.

（C）ba.（D）ab10.

8.互不相等的三個正數(shù)a、b、c恰為一個三角形的三條邊長，則以下列三數(shù)為長度的線段一定能做成三角形的是（）

（A）1a，1b，1c.

（B）a2，b2，c2.

（C）a，b，c.

（D）|a-b|，|b-c|，|c-a|.

9.在一個凸八邊形中，每三個頂點形成三個角（如由A、B、C三個頂點形成∠ABC，∠BAC，∠ACB），一共可以作出168個角，那么這些角中最小的一個一定（）

（A）小于或等于20°.

（B）小于或等于22.5°.

（C）小于或等于25°.

（D）小于或等于27.5°.

10.設(shè)a、b、c均為正數(shù)，若ca+b

（A）c

（C）a

二、A組填空題

11.分解因式：a3b+ab+30b的結(jié)果是.

12.若實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖2所示，則c2-|b-a|+|b+c|=.

13.已知x-11-x-1x的值是-14，那么x=.

14.如圖3，∠1=27.5°，∠2=95°，∠3=38.5°，則∠4=.

15.設(shè)A1，A2，…，An是一個有n個頂點的凸多邊形，對每一個頂點Ai（i=1，2，3，…，n），將構(gòu)成該角的兩邊分別反向延長至Ai1，Ai2，連結(jié)Ai1，Ai2，得到兩個角∠Ai1，∠Ai2，那么所有這些新得到的角的度數(shù)的和是.

16.（Figure 4）Intherectangle（長方形） ABCD，AB=4，BC=7.I fthebisector（平分線） of ∠BAD passesthroughthevertex（頂點） A， meets BC at E，EF perpendicular to ED meets AB at F， then thelength（長度） of EF is.

17.如圖5，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中點，從D作DE⊥AC與CB的延長線交于E，以AB、BE為鄰邊作長方形ABEF，連接DF，則DF的長是.

18.某次數(shù)學(xué)競賽第一試有試題25道，閱卷規(guī)定，每答對一題得4分，每答錯（包括未答）一題扣除1分，若得分不低于60分的同學(xué)可以參加第二試，那么參加第二試的同學(xué)在第一試中至少需要答對的題數(shù)是.

19.若510510的所有不同的質(zhì)因數(shù)按照從小到大的順序排列為a1，a2，a3，…，ak（k為最大質(zhì)因數(shù)的序號），則（a1-a2）（a2-a3）（a3-a4）·…·（ak-1-ak）=.

20.兩個七進制整數(shù)454與5的商的七進制表示為.

三、B組填空題

21.已知a+1a=433，則a5+1a3的值等于或.

22.一項工程，甲單獨完成需要a天，乙單獨完成需要b天，a、b都是自然數(shù)，現(xiàn)在乙先工作3天后，甲、乙再共同工作1天恰好完工，則a+b的值等于或.

23.一個凸多邊形的一個內(nèi)角的補角與其它內(nèi)角的和恰為500°，那么這個多邊形的邊數(shù)是或.

24.小張以兩種形式儲蓄了500元，第一種的年利率為3.7%，第二種的年利率為2.25%，一年后得到利息為15.6元，那么小張以這兩種形式儲蓄的錢數(shù)分別是與.

25.若a為整數(shù)，且分式（a2-4a+4）（a3-2）a3-6a2+12a-8-（a+1）（a2-a+1）a-2的值是正整數(shù)，則a=或.

參考答案

一、選擇題

題號12345678910

答案BCBADCDCBA

提示：

1. 11999-2000

=1999+2000（1999-2000）（1999+2000）

=-（1999+2000）

故選（B）.

2.當(dāng)x>0時，x-|x|x2=0，

當(dāng)x<0時，x-|x|x2=2x-x=-2.

故選（C）.

3.a是整數(shù)，2a表示偶數(shù).

由已知|2a+7|+|2a-1|=8，即在數(shù)軸上表示2a的點到-7與+1的距離的和等于8.

所以2a表示從-7到1之間的偶數(shù).

所以2a=-6或2a=-4，

或2a=-2或2a=0，

即a=-3或a=-2或a=-1或a=0.

共有4個數(shù)值.

故選（B）.

4.如圖6，過D點作DE∥BC交AB于E，圖6

因為AB∥CD，

DE∥BC，

所以四邊形BCDE是平行四邊形.

所以DC=BE，

∠B=∠CDE.

因為∠ADC=2∠B.

所以∠ADE=∠B，

∠AED=∠B，

所以∠ADE=∠AED，

AE=AD=a，

所以CD=BE=AB-AE=b-a.

故選（A）.

5.若四條線段如圖7構(gòu)成一個梯形ABCD，AB∥CD，且AB>CD，過C作CE∥AD，交AB于E.

所以BE=AB-CD，

CE=AD.

所以兩腰AD、BC與兩底的差（AB-CD）構(gòu)成一個三角形.

①若用a=14，d=7作兩底，則13，9，（14-7）=7可以構(gòu)成一個三角形.此時，梯形的中位線的長為10.5.

②若用a=14，c=9作兩底，則13，7，（14-9）=5構(gòu)不成三角形.

所以不存在這樣的梯形.

③若用a=14，b=13作兩底，或用b=13，c=9作兩底，也同樣構(gòu)不成梯形.

④若用b=13，d=7作兩底，或用c=9，d=7作兩底，作出的梯形的中位線都小于10.5.

故選（D）.

6.因為1≤x≤2.

所以 x+2x-1-x-2x-1

=（x-1）+2x-1+1

-（x-1）-2x-1+1

=（x-1+1）2-（x-1-1）2

=x-1+1-1+x-1

=2x-1.

故選（C）.

7.因為7=a，70=b.

所以4.9=490100=7×7010=ab10.

故選（D）.

8.如2，4，5為邊可以組成三角形，而12，14，15不能構(gòu)成三角形，排除（A）.

如3，4，5為邊可以組成三角形，而32，42，52不能構(gòu)成三角形，排除（B）.

如2，3，4為邊可以組成三角形，而|2-3|，|3-4|，|4-2|不能構(gòu)成三角形，排除（D）.

不妨設(shè)a>b>c>0，滿足a

所以（b+c）2=b+2bc+c>a，

所以b+c>a，

所以a，b，c可以構(gòu)成三角形.

故選（C）.

9.凸八邊形的8個內(nèi)角的和為

6×180°=1080°，

其中至少有一個內(nèi)角小于等于

1080°÷8=135°.

不妨設(shè)∠A≤135°，在八邊形中除A點及它的兩個相鄰頂點外，還有5個頂點，它們與A連5條對角線，把∠A分成6個角，在這6個角中必有一個角小于等于

135°÷6=22.5°.

故選（B）.

10.解法1 由ca+b

c（b+c）

bc+c2-a2-ab<0，

（c-a）（a+b+c）<0.

所以c

同理，由ab+c

所以c

故選（A）.

解法2 因為ca+b

所以a+bc>b+ca>c+ab，

所以a+bc+1>b+ca+1>c+ab+1，

所以a+b+cc>a+b+ca>a+b+cb，

所以c

故選（A）.

二、A組填空題

題號111213

答案b（a+3）（a2-3a+10）-a-2c12

題號14151617181920

答案19°360°52317128（65）7

提示

11. a3b+ab+30b

=b（a3+a+30）

=b[（a3+27）+（a+3）]

=b[（a+3）（a2-3a+9）+（a+3）]

=b（a+3）（a2-3a+10）.

12.由數(shù)軸上點的位置可知：

c0.

所以 c2-|b-a|+|b+c|

=-c-（a-b）-（b+c）

=-c-a+b-b-c

=-a-2c.

13.x-11-x-1x=-14.

所以x-1x-x+1x=-14.

所以x（x-1）=-14.

所以4x2-4x+1=0.

所以（2x-1）2=0.

解得x=12.

14.由圖3知：∠1+∠4+∠2+∠3=180°，

所以∠4=180°-（∠1+∠2+∠3）

=180°-（27.5°+95°+38.5°）

=19°.

15.每個頂點延伸兩邊所得到一個三角形，這樣共有n個三角形，它們的內(nèi)角和是n×180°，另外每個三角形中均有一個角與凸多邊形的一個頂角相等，而凸多邊形的內(nèi)角之和為

（n-2）×180°，

所以所有新得到的角的總和是

n×180°-（n-2）×180°=360°.

16.因為AE是∠BAD的平分線，

所以∠BAE=45°，

AB=BE=4.

所以CE=BC-BE=3.

又因為EF⊥ED.

所以∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，

所以Rt△BEF≌Rt△CDE，

所以BF=CE=3，

EF=BE2+BF2=5.

17.如圖8，自D點作DG∥BC交EF于G.

因為D是AC的中點，

所以DG是梯形ACEF的中位線，

所以DE=DF.

Rt△ABC中，∠C=60°，BC=2.

所以AC=4.CD=2.

在Rt△CED中，∠C=60°，CD=2.

所以DE=23.

所以DF=23.

18.設(shè)參加二試的同學(xué)在一試中至少答對x道題.

由題意知：4x-（25-x）≥60.

所以5x≥85.

所以x≥17.

答：至少需答對17道題.

19.510510=2×3×5×7×11×13×17.

所以a1=2，a2=3，a3=5，

a4=7，a5=11，a6=13，a7=17.

所以 （a1-a2）（a2-a3）…（a6-a7）

=（-1）×（-2）×（-2）×（-4）

×（-2）×（-4）

=128.

20.（454）7=4×72+5×7+4

=（235）10.

（5）7=（5）10.

作十進制除法 235÷5=47.

而（47）10=6×7+5=（65）7.

二、B組填空題

題號2122232425

答案8293，822739，104，5300，200-1，1

提示：

21.因為

a+1a=433=3+33=33+3.

所以a=3或a=33.

當(dāng)a=3時，a5+1a3=93+133=8293

當(dāng)a=33時，a5+1a3=327+33=82273.

22.由題意，甲一天完成工程的1a，乙一天完成工程的1b.

所以1a+4b=1， a，b∈N.

1a=1-4b=b-4b.

a=bb-4=1+4b-4.

因為a是自然數(shù)，

所以b-4是4的一個約數(shù).

即b-4=1，或b-4=2或b-4=4.

所以a=5，b=5或a=3，

b=6或a=2，b=8.

則a+b的值可以是10或9.

23.設(shè)凸多邊形的邊數(shù)為n，其中一個內(nèi)角的度數(shù)為x，

0

則（n-2）×180-x+（180-x）=500，

所以180n=680+2x.

所以680<180n<1040.

所以379

所以n=4或n=5.

24.設(shè)以第一種形式儲蓄的錢數(shù)為x元，以第二種形式儲蓄的錢數(shù)為y元.

所以x+y=5003.7%x+2.25%y=15.6

解得x=300y=200

答：以這兩種形式儲蓄的錢數(shù)分別為300元和200元.

25.

（a2-4a+4）（a3-2）a3-6a2+12a-8-（a+1）（a2-a+1）a-2

=（a-2）2（a3-2）（a-2）3-a3

+1a-2

=a3-2-a3-1a-2

=-3a-2.

由題意知-3a-2>0，且-3a-2為整數(shù)

所以2-a是3的正約數(shù).

即2-a=1或2-a=3.

所以a=1或a=-1.