初中二年級 第2試

一、選擇題

1.-19992000，-19981999，-998999，-9991000這四個數從小到大的排列順序是（）

（A）-19992000<-19981999<-9991000<-998999.

（B）-998999<-9991000<-19981999<-19992000.

（C）-19981999<-19992000<-9991000<-998999.

（D）-9991000<-998999<-19992000<-19981999.

2.一個三角形的三條邊的長分別是a、b、c（a，b，c都是質數），且a+b+c=16，則這個三角形是（）

（A）直角三角形.

（B）等腰三角形.

（C）等邊三角形.

（D）直角三角形或等腰三角形.

3.已知25x=2000，80y=2000，則1x+1y等于（）

（A）2.（B）1.

（C）12.（D）32.

4.設a+b+c=0，abc>0，則b+c|a|+c+a|b|+a+b|c|的值是（）

（A）-3.（B）1.

（C）3或-1.（D）-3或1.

5.If a

（A）|a+b+c|3.（B）|b|.

（C）c-a.（D）-c-a.

6.若一個等腰三角形的三條邊長均為整數，且周長為10，則底邊的長為（）

（A）一切偶數.（B）2或4或6或8.

（C）2或4或6.（D）2或4.

7.三元方程x+y+z=1999的非負整數解的個數有（）

（A）20001999個.（B）19992000個.

（C）2001000個.（D）2001999個.

8.如圖1，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE∶ED等于（）

（A）2.（B）32.

（C）5+12.（D）5-12.

9.如圖2，一個邊長分別為3、4、5厘米的直角三角形的一個頂點與正方形的頂點B重合，另兩個頂點分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是（）

（A）16215平方厘米. （B）15216平方厘米.

（C）17216平方厘米.（D）16217平方厘米.

10.已知p+q+r=9，且px2-yz=qy2-zx=rz2-xy，則px+qy+rzx+y+z等于（）

（A）9.（B）10.

（C）8.（D）7.

二、填空題

11.化簡：23-66-423+2=.

12.已知多項式2x2+3xy-2y2-x+8y-6可以分解為（x+2y+m）（2x-y+n）的形式，那么x3+1n2-1的值是.

13.△ABC中，AB>AC，AD、AE分別是BC邊上的中線和∠A的平分線，則AD和AE的大小關系是ADAE.（填“>”、“<”或“=”）

14.如圖3，銳角△ABC中，AD和CE分別是BC和AB邊上的高，若AD與CE所夾的銳角是58°，則∠BAC+∠BCA=.

15.設a2-b2=1+2，b2-c2=1-2，則a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2=.

16.已知x為實數，且x2+1x2=3，則x3+1x3=.

17.Ifn is a positive integer and n2+3n-10n2+6n-16 is a reduced fraction， then n2+3n-10n2+6n-16=.

18.如圖4，在△ABC中，AC=2，BC=4，∠ACB=60°，將△ABC折疊，使點B和點C重合，折痕為DE，則△AEC的面積等于.

19.已知非負實數a、b、c滿足條件：3a+2b+c=4，2a+b+3c=5，設S=5a+4b+7c的最大值為m，最小值為n，則n-m=.

20.設a、b、c、d為正整數，且a7=b6，c3=d2，c-a=17，則d-b=.

三、解答題

要求：寫出簡要步驟

21.已知實數a、b滿足條件|a-b|=ba<1，化簡代數式1a-1b（a-b-1）2，將結果表示成不含有字母b的形式.

22.如圖5，正方形ABCD中，AB=3，點E、F分別在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面積.

23.將編號為1，2，3，4，5的五個小球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中，每個盒子中只放入一個，

（1）一共有多少種不同的放法？

（2）若編號為1的球恰好放在了1號盒子中，共有多少種不同的放法？

（3）若至少有一個球放入了同號的盒子中（即對號放入），共有多少種不同的放法？

參考答案

一、選擇題

題號12345678910

答案ABBBDDCCDA

提示

1.-19992000=-1+12000，

-19981999=-1+11999，

-998999=-1+1999，-9991000=-1+11000.

因為12000<11999<11000<1999，

所以-19992000<-19981999<-9991000<-988999.

故選（A）.

2.因為a、b、c都是質數，且a+b+c=16，

所以a、b、c中有一個數為2，不妨設a=2，則b+c=14，又三角形兩邊之差小于第三邊，

所以|b-c|<2.

所以只有|b-c|=0或|b-c|=1.

當|b-c|=1時，b、c均不是質數，不合題意.所以只有|b-c|=0，

即a=2，b=c=7.

所以三角形是等腰三角形.

故選（B）.

3.因為 25x=2000，

所以25xy=2000y.①

又80y=2000，

所以80xy=2000x.②

①×②得：（25×80）xy=（2000）x+y，

所以xy=x+y，

即1x+1y=1.

故選（B）.

4.因為 a+b+c=0，abc>0，

所以a、b、c中定為兩個負數和一個正數.

又a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b.

所以b+c|a|+c+a|b|+a+b|c|

=-a|a|+-b|b|+-c|c|=1.

故選（B）.

5.由題設a

所以a<0，c>0.

又因為|c|<|b|<|a|，

所以a、b、c三個實數在數軸上可表示為圖6.

所以|x-a|+|x-b|+|x+c|所表示的實數為數軸上一點到a、b和-c三點的距離之和，當x與b點重合時，這個距離和取得最小值.最小值為-c-a.

故選（D）.

6.設等腰三角形的腰長為a，底邊為b，

所以2a+b=10，b=10-2a.

所以b是偶數.

又b<2a，

所以2b<10.

解得b<5，

所以b為小于5的偶數.

所以b=2或b=4.

故選（D）.

7.由題意知，x、y、z均為非負整數，

當x=0時，y+z=1999，為y分別取0，1，2，…，1999時，z取1999，199

8，1997，…，0，有2000個整數解.

當x=1時，y+z=1998，有1999個整數解，當x=2時，y+z=1997，有1998個整數解，

…

當x=1999時，y+z=0，只有1組整數解.

所以非負整數解總共有：

2000+1999+1998+…+3+2+1

=2000（2000+1）2

=2001000（個）.

故選（C）.

8.如圖7，延長DA、CB.相交于G，圖7

因為AB∥EF∥CD，

所以 △GAB∽△GEF

∽△GDC.

又CD=3AB，

所以S△GABS△GDC=ABCD2=19.

設S△GAB=S.

所以S△GDC=9S，S梯形ABCD=8S.

又EF將梯形ABCD的面積分成相等的兩部分，

所以S梯形ABFE=S梯形EFCD=4S.

所以GA2∶GE2∶GD2

=S△GAB∶S△GEF∶S△GDC=1∶5∶9.

所以GA∶GE∶GD=1∶5∶3，

所以AEED=5-13-5=（5-1）（3+5）（3-5）（3+5）=5+12.

故選（C）.

9.設BC=a，則CE=16-a2，

又△BCE∽△EDF，

所以DEEF=BCBE，

所以DE=34a.

又DE+EC=DC=a，

所以34a+16-a2=a.

所以16-a2=a216，

所以a2=16217（平方厘米）.

故選（D）.

10.設px2-yz=qy2-xz=

rz2-xy=k.

則p=k（x2-yz），

q=k（y2-xz），r=k（z2-xy），

所以 p+q+r

=k（x2+y2+z2-xy-yz-xz）=9.

又 px+qy+rz

=k（x3-xyz+y3-xyz+z3-xyz）

=k（x3+y3+z3-3xyz）=k（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）

=9（x+y+z）.

所以px+qy+rzx+y+z=9.

故選（A）.

二、填空題

題號1112131415

答案1-78>122°5

題號1617181920

答案±25811233-2601

提示：

11.23-66-423+2

=23-6（2-2）23+2=23-12+623+2

=11+623+2

=（3+2）23+2=1.

12.由題意知

（x+2y+m）（2x-y+n）

=2x2+3xy-2y2-x+8y-6.

又（x+2y+m）（2x-y+n）

=2x2+3xy-2y2+（2m+n）x

+（2n-m）y+mn.

根據多項式恒等的條件，得：

2m+n=-12n-m=8mn=-6解得m=-2n=3.

所以m3+1n2-1=-78.

13.如圖8，延長AD到F，使DF=AD，連結CF.

因為BD=CD，AD=FD，

∠ADB=∠CDF.

所以△ABD≌△FCD.

所以CF=AB.

∠BAD=∠CFD.

在△AFC中，CF=AB>AC.

所以∠CAD>∠CFD=∠BAD.

因為AE是∠BAC的平分線，

所以∠CAE=12∠CAB>∠BAD.

在△ADE中，∠AED=∠ECA+∠CAE，

∠ADE=∠DBA+∠BAD，

所以∠AED>∠ADE.

所以AD>AE.

14.如圖9.設AD、CE交于F，

因為 ∠AFE=58°，

AD⊥BC，

CE⊥AB，

所以∠B=58°，

所以∠BAC+∠BCA=180°-58°=122°.

15.因為a2-b2=1+2，

b2-c2=1-2，

所以a2-c2=2.

所以a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2

=12[（a4-2a2b2+b4）+（b4-2b2c2+c4）

+（c4-2a2c2+a4）]

=12[（a2-b2）2+（b2-c2）2+（c2-a2）2]

=12[（1+2）2+（1-2）2+22]

=5.

16.因為x2+1x2=3.

所以x2+2+1x2=5.

即x+1x2=5.

所以x+1x=±5.

所以x3+1x3=x+1xx2-1+1x2

=x+1x×x+1x2-3

=±5×2

=±25.

17.由題意知n2+3n-10n2+6n-16=（n-2）（n+5）（n-2）（n+8）為既約分數.

所以n-2=1，

（若n-2≠1，則原分數一定可以約分）.

所以n=3.

將n=3代入原式得n2+3n-10n2+6n-16=811是一個既約分數.

0

18.如圖10，△ABC中，AC=2，BC=4，D為BC的中點，∠ACB=60°.

連結AD，

所以△ACD為等邊三角形.

所以AD=AC=2，∠ADC=60°.

又△ABD為等腰三角形，

∠ADC=2∠B，

所以∠B=30°，∠BAC=90°.

又ED是BC的垂直平分線.

所以∠ECD=∠B=30°，∠ACE=30°.

在Rt△AEC中，AC=2，∠ACE=30°.

設AE=x，EC=2x.

所以（2x）2=x2+22.

解得x=233.

所以S△AEC=12AE·AC=12×2×233=233.

19.由題意知

3a+2b=4-c2a+b=5-3c 解得 a=6-5cb=7c-7

所以S=5a+4b+7c

=5（6-5c）+4（7c-7）+7c

=10c+2.

又a、b、c均為非負實數.

所以6-5c≥07c-7≥0c≥0 解得 1≤c≤65.

所以S=5a+4b+7c的最大值是m=14（c=65時），最小值n=12（c=1時）.

所以n-m=12-14=-2.

20.由題意知a7=b6，c3=d2，

并且7、3、2均為質數，所以a的質因數一定整除b，同樣b的質因數一定整除a，即存在一個正整數p，使得a=p6，b=p7.

同理一定存在一個正整數q，使得c=q2，d=q3.

又已知c-a=17.

所以17=q2-p6=（q+p3）（q-p3）.

由于17是質數且17=17×1.

所以q+p3=17q-p3=1 解得 q=9p3=8

所以q=9，p=2.

所以a=26=64，b=27=128，

c=q2=81，d=q3=729.

所以d-b=729-128=601.

三、解答題

21.因為|a-b|=ba<1，

所以a、b同號，且-1

所以 1a-1b（a-b-1）2

=1a-1b[1-（a-b）]

=b-aab[1-（a-b）].

①若a、b同為正數，由ba<1，得a>b.

所以a-b=ba，a2-ab=b，

解得b=a2a+1.

所以 1a-1b（a-b-1）2

=b-aab[1-（a-b）]

=-baab1-ba=-1a2·a-ba

=-ba4=-1a2（a+1）.

②若a、b同為負數，由ba<1，得b>a.

所以a-b=-ba，

a2-ab=-b，

解得b=a2a-1.

所以 1a-1b（a-b-1）2

=b-aab[1-（a-b）]=baab1+ba

=a+ba3=a+a2a-1a3=2a-1a2（a-1）.

綜上所述，當a、b同為正數時，原式的結果為-1a2（a+1）;

當a、b同為負數時，原式的結果為2a-1a2（a-1）.

1

22.如圖11，延長CB至G，使BG=DF，連接AG，則

△ABG≌△ADF，

所以AG=AF，

∠BAG=∠DAF=15°.

又∠GAE=15°+30°=45°，

∠FAE=90°-15°-30°=45°，

所以∠GAE=∠FAE.

所以△GAE≌△FAE，

所以EF=EG，

∠AEF=∠AEG=60°，

∠EFC=30°.

在Rt△ABE中，AB=3，∠BAE=30°，

所以BE=3tan30°=1，

CE=3-1.

在Rt△EFC中，∠EFC=30°，

所以EF=2（3-1）.

S△AEF=S△AEG=12EG×AB

=12×2（3-1）×3

=3-3.

23.（1）將第一個球先放入，有5種不同的放法;再放第二個球，這時有4種不同的放法;依此類推，放入第三、四、五個球時，分別有3、2、1種放法，所以總共有5×4×3×2×1=120種不同的放法.

（2）將1號球放在1號盒子中，其余的四個球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，這樣共有4×3×2×1=24種不同的放法.

（3）分四種情況考慮：

①有且只有一個球對號放入：先從五個球中選定一個球，有5種選法，將它放入同號的盒子中（如將1號球放入1號盒子），其余四個球均不對號放入，有9種不同的放法，這樣共有5×9=45種不同的放法.

②有且只有兩個球對號放入：先從五個球中選定二個球有10種選法，將它們放入同號的盒子中（如將1號球和2號球分別放入1號盒子和2號盒子），其余的三個球均不對號放入，有2種不同的放法，這樣共有10×2=20種不同的放法.

③有且只有三個小球對號放入：先從五個球中選定三個球，有10種選法，將它們放入同號的盒子中（如將1號球、2號球、3號球分別放入1號盒子、2號盒子和3號盒子），其余的兩個球均不對號放入，有1種不同的放法，這樣共有10·1=10種不同的放法.

④五個球均對號放入，這時只有1種不同的放法.

綜上可知：至少有一個球放入了同號盒子中，一共有45+20+10+1=76種不同的放法.