反證法在初中數學解題中的應用

王輝

【摘要】反證法又稱為“逆證”，屬于間接論證的一種方法，一般是通過斷定與論題相矛盾的判斷虛假來確立論題真實性的論證方法.

反證法通過“由果溯因”的思維模式，從一些難以著手的數學問題中找到新的切入點.初中數學教師在引導學生進行解題的過程中要注重培養學生的逆向思維，拓展學生的數學

視野.在解題訓練中可根據具體題目指導學生按照以下流程運用論證法：第一步，提出論題;第二步，設定反論題，依據推理規則展開推理和演繹，證明反論題的虛假;第三步，根據排中律，既然反論題為假，則原論題是真.

【關鍵字】 反證法;逆向思維，初中數學

1 應用反證法解答方程證明題

例題 已知a>2，b>2，請判斷一元二次方程x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0是否存在公共根，且說明理由.

解題過程

假如題干中給出的x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0存在公共根x0，則結合題目中提供的條件和信息能夠得到x02-（a+b）x0+ab=0①，x02-abx0+（a+b）=0②，讓②-①可以得到（x0+1）（a+b-ab）=0.

因為a>2，b>2，所以能夠得到：a+b≠ab，這樣存在：x0=-1，將其帶入到方程②里面，可以得到1+a+b+ab=0，顯然這是不可能成立的.由此判斷出本次假設是不成立的，那么就證明這兩個方程沒有公共根.

解題點評 在求解諸如一元二次方程類的代數證明問題中，如果教師引領學生靈活應用反證法，生不僅要靈活掌握一元二次方程的性質，還要

能夠根據題意恰當的反證切入點，幫助他們快速確定求解證明題的方法與思路，使其在較短時間內就求解證明題.

2 應用反證法解答否定性命題

例題 求證在一個三角形中，不能存在兩個角為直角，已知三角形ABC的三個內角分別是∠A，∠B與∠C，求證：∠A，∠B與∠C中不能存在兩個角是直角.

解題過程

假如∠A、∠B、∠C三個角中存在兩個直角，設∠A=90°，∠B=90°，則∠A+∠B+∠C>180°，這一結果同“三角形的內角和是180°”這一定理明顯不相符，兩者存在沖突，所以“∠A=90°、∠B=90°”不成立，這就說明一個三角形中不可能存在兩個內角是直角.

解題點評 當求證試題中出現“沒有”、“不是”、“不能”等詞語時，這屬于否定性命題類試題，用直接求證法很難快速、正確的解答，想要證明不可能就首先要找到所有可能的情況一一進行論證，論證的過程十分繁瑣且容易產生疏漏，教師引導學生應用反證法則可以通過逆向推導的方式求證命題，避免了正向推

導的繁瑣之處，從而快速高效的解答問題.

3 應用反證法解答限定式命題

例題 在直徑是25的一個大圓內，存在9個直徑是2的小圓，請證明最少有2個小圓的公共部分面積比π9大.

解題過程

證明 如果這些小圓公共部分的面積小于π9，9個小圓共有9×8÷2=36的共同面積，則9個小圓的公共面積不能大于36×π9=4π.因為題目中給出大圓的直徑是25，即大圓的面積為π×（25）2=25225π，那么9個小圓的面積不可能會超過5π，所以在直徑是25的大圓中，最少有2個小圓的公共部分面積比π9大.

解題點評 當求證試題中出現“最多”、“最少”、“不多”等詞語時，教師可以提示學生運用反證法，使其快速、輕松的解出試題，還能夠訓練他們的邏輯性思維，提高辯證能力.

4 應用反證法解答無窮性命題

例題 求證3是無理數.

解題過程

證明 假如3是有理數，那么就存在a、b屬于自然數，a與b互質為互質關系，b≠0，讓3=ab×a2=2b2，a是偶數，表示為a=2c，所以有a2=4c2，2c2=b2，據此能夠判定出b是偶數，由于a、b都是偶數，a與b就不可能是互質關系，同a與b互質相矛盾，所以說3是無理數.

解題點評 由于題中的已知信息較少，無理數是無限不循環的一類數，無限與不循環在數學中很難通過數字直觀的表示出來，正向推導過于抽象，學生如果無法構建起逆向思維，面對這樣的問題就會難以入手.教師在引導學生訓練該類求證題時，可以有意識的鼓勵學生從不同的角度進行思考，從而靈活運用反證法，把求證的數直觀呈現，易于證明.

5 應用反證法解答圖形證明題

例題 兩個圓相交所形成的交點無法在連心線同一側，已知如圖1所示，有兩個圓⊙M與⊙N，它們相交于點A與點B，將圓心M、N連接起來，求證：點A與點B位于直線MN的兩側.

解題過程

證明 如圖1假設兩個圓的兩個相交點A與B位于連心線MN的同一側，因為在圖中兩個圓關于直線MN對稱，由此可知A、B兩點關于直線MN的對稱點也是兩個圓的交點，這與“同過不在同一直線上的三個點有且僅有一個圓”這一基本數學定理存在沖突，所以本次假設不成立，即為原結論保持成立，也就是說兩個圓相交所形成的交點不可能在連心線的同一側.

解題點評 在求解一些常見的平面圖形類證明題中，當采用正向法難以順利求證時，教師可提示學生應用反證法簡化分析問題的過程，引導學生透過圖形表面找到題目背后的數學規律，使其形成正確的證明思路，讓解題更高效.

6 總結

在初中數學解題教學實踐中，應用反證法是一個相當有效的解題方法，許多看似困難的問題換一個角度就可以找到新的切入點，這對提升學生的解題能力有著十分積極的意義，不過運用反證法時，教師應要求他們嚴格按照反證法推理的基本步驟與流程進行解題，使其羅列清楚已知信息和求證結論，由此逐步展開推理論證.這樣才能夠保證推理論證的思路清晰，從而更好地解決問題.教師還應積極鼓勵學生多運用反證法，在反復的練習和鍛煉中加深印象和理解，這樣在解決問題時才能夠熟練地假設問題的矛盾，明晰解題思路，提升解題效率，節約答題時間.

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