巧用化歸思想 解答數學難題

譚謝燕

【摘要】同小學數學教學相比，初中數學知識顯得更加復雜與專業，涉及到大量抽象的數學概念、公式與規律，不少初中生都普遍反應數學學習起來難度較大，尤其是在解題訓練中，他們無法快速、準確地處理部分難題.初中數學教學可引領學生巧妙運用化歸思想解答難題，筆者結合自身多年的教學實際展開探討，同時分享一些用化歸思想解答數學難題的實例.

【關鍵字】 化歸思想;初中數學;解答難題

化歸思想是對轉化與歸結的簡稱，將一個問題由繁化簡、由難化易、由復雜化簡單的過程就是化歸，不僅是一種重要的解題思想，還是一種最基本的思維策略，也是一種有效的數學思維方式.在初中數學教學中，隨著知識難度的提升，題目難度也隨之增加，教師要指引學生根據實際題目巧用化歸思想解答難題，提高他們解題的準確度，使其不再懼怕難題.

1 巧用化歸思想，化未知問題為已知問題

例題 如圖1所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB與CD的長度相等，兩條對角線AC與BD相交于點O，且AC與BD是垂直關系，其中AD的長度是3，BC的長度是5，求AC的長度是多少？

解題過程

可以過點D作DE//AC，同BC的延長線相交于點E，由此能夠得到AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8.

因為AC⊥BD，

所以BD⊥DE.

又因為AB=CD，

所以AC=BD，

所以BD=DE.

那么在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2.

所以BD=22，BE=42，即AC=42.

解題點評 學生處理本道題目時根據梯形對角線互相垂直的特點，通過平移對角線將未知的等腰梯形轉化成已知的直角三角形與平行四邊形，使他們借助化歸思想順利解決難題.

2 巧用化歸思想，化陌生問題為熟悉問題

例題 解方程：2（x-1）2-5（x-1）+2=0

解題過程

令y=x-1，則原方程能夠轉化成2y2-5y+2=0.

通過解該一元二次方程可以得到y1=2或者y2=12，即為x-1=2或者x-1=12，解之得x=3，或者x=32，所以說原方程的解是x=3，或者x=32.

解題點評 這是一道解關于（x-1）的一元二次方程，假如把原方程全部展開求解過程比較繁瑣，學生可根據特點將（x-1）設為y，把陌生問題轉化成熟悉問題，便于輕松求解.

3 巧用化歸思想，化復雜問題為簡單問題

例題已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2009的值.

解題過程

因為x2+x-1=0，

所以x2=1-x.

所以x3+2x2+2009=x（1-x）+2（1-x）+2009

=-x2-x+2011

=-（x2+x-1）+2010

=2010.

解題點評 本題從表面來看就比較復雜，題目中給出的已知條件不多，很難直接求出x的值，教師指導學生通過“化零散為整體”或者利用降次進行轉化，使得問題變得簡單化.

4 巧用化歸思想，化一般問題為特殊問題

例題 如圖2所示，如果∠AOB是一個定角，P點是一個定點，且位于∠AOB的平分線上，將OP連接起來，以OP為弦作圓與OA相交于點C、與OB相交于點D，求證：OD與OC之和是一個定值.

解題過程

首先可以把本題中的情況進行特殊化處理，如圖3所示，假設OP位于圓內的特殊位置，是一條特殊的弦，即OP是直徑，且OP=L，∠AOB=2α，由于OP經過圓心，據此能夠得到∠ODP=∠OCP=90°，OD+OC=2OD=2Lcosα，所以OD與OC之和一定是一個定值.當OP不經過圓心時，證明過程如下：

如圖2所示，畫輔助線PF⊥OB，垂足是點F，畫PE⊥OA，垂足是點E，又因為∠AOB的平分線是OP，因此能夠得出PF與PE是長度是一樣的，OF=OE=Lcosα，可以知道∠PDF與∠PCE的大小一樣，所以Rt△PDF與Rt△PCE是一組全等的三角形，那么DF與CE的長度相同，OD+OC=（OF+FD）+（OE-CE）=OF+OE=2Lcosα，所以說OD與OC之和一定是定值.

解題點評 化歸思想的特殊化方法就是先把一般問題轉化成特殊形式或情況，再尋求解題方法，然后通過對特殊情況的研究解決問題，最終順利得出相應的結論，顯得高效又準確.

5 巧用化歸思想，代數和幾何問題的互化

例題 m、n都是正數，且滿足條件m+n=3，且S=m2+4+n2+4，求S的最小值.

解題過程

使用數形結合思想，將題目中描述的內容以圖形形式來呈現，如圖3所示，線段AB和DE相交于點C，將AD與BE連接起來，根據題意可知BE=AD=2，m+n=AB=3，且∠CBE=∠CAD=90°，求CE+CD的最小值就是求S的最小值，從題目中可以看出，CE+CD的最小值就是當E、C、D成一條直線時，此時點C是線段AB的中點，S的值最小.假設AC=m，CB=n，根據m+n=AB=3可以得到AC=BC=12AB=32，即為m=n=32，在Rt△BEC與Rt△ADC中，CD=AD2+AC2=4+94=52，而CE=BC2+BE2=52，則DE=S=CE+CD=5，據此能夠求出S的最小值是5.

解題點評 解答本題的關鍵是通過觀察題干中所提供的已知信息，想到利用圖形構造把抽象的問題轉化成直觀的問題，即為代數向幾何的轉化，然后結合圖形求出相應的答案.

例題已知△ABC的三條邊分別是a，b，c，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，請判斷出△ABC的形狀.

解題過程

因為a2+b2+c2=ab+ac+bc

所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0，

所以（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，

所以a-b=0，（a-c）=0，（b-c）=0，

所以a=b=c，這說明該三角形的三條邊長度相等，

所以△ABC是一個等邊三角形.

解題點評 處理這一問題時，學生通過讀題發現題干中的代數式比較重要，雖然是一道幾何問題，但是可以利用化歸思想將原問題轉化成代數問題，借助湊完全平方式的方法解題.

6 巧用化歸思想，化函數問題為方程問題

例題 如圖4所示，反比例函數y=-8x和一次函數y=-x+2的圖像相交于A點與B點，求：（1）A點和B點的坐標;（2）△AOB的面積.

解題過程

（1）將題目中兩個函數的關系式聯立起來，轉化成一個方程組，解之得x1=4，y1=-2;x2=-2，y2=4，據此得出A點的坐標是（-2，4），B點的坐標是（4，-2）.

（2）由于直線y=-x+2同y軸的相交于點D，坐標是（0，2），所以有S△AOD=12×2×2=2，S△BOD=12×2×4=4，所以S△AOB+S△AOD=2+4=6.

解題點評 兩個函數的圖像相交，這說明交點處的橫坐標與縱坐標不僅適合于第一個函數，還適合于第二個函數，所以根據題意能夠將函數問題轉化為方程組問題，繼而求解問題.

7 總語

在初中數學解題教學實踐中，面對數量較多的難題，教師應注重化歸思想的滲透，幫助學生掌握化歸思想的使用原則與方法，使其認真審題、找準規律，通過巧妙運用實現由未知向已知、由陌生向熟悉、由復雜向簡單、由一般向特殊的轉化，以及代數問題與幾何問題的相互轉化，即為數向形或形向數的轉化，最大化提高他們解答數學難題的正確率與速度.

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