初中數學圓的解題技巧研究

孫明松

【摘要】本文通過例題講解的方式闡述初中數學教學中“圓”的有關性質的問題、圓的作用的問題、點與圓的位置關系、有關圓內弦的問題，通過詳細的解題過程、解題點評來讓學生加深對本節內容的學習和領悟.

【關鍵詞】初中數學;平面圖形;圓

圓是一個比較特殊的平面圖形，由曲線組成，不僅是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉不變性，基于圓的這些特性，再加上同其它知識點之間的聯系，關于圓的題型比較多，綜合性也較強，不少學生在解題過程中極易遇到障礙或者困境，往往不知道從何處著手，教師應根據具體題目為其傳授一些常用的解題技巧，提高他們解決圓類試題的能力.

1 有關圓性質的問題求解技巧

例題

已知一直徑是AB的圓O，圓內有一條弦是CD，且AB通過弦CD的中點M點，將BD與OC連接起來，如果∠BOC是40°，請求出∠ABD的大小.

解題過程

結合題目中提供的信息能夠判斷出∠BDC與∠BOC二者分別是弧BC所對圓周角與圓心角，這樣就可以結合已知條件以及圓周角定理來求出∠BDC的大小是20°;又因為CD與AB是垂直關系，所以能夠知道△BDM本身就是一個直角三角形，結合直角三角形內除直角外其它兩個角是互余關系，能夠快速求解出∠ABD度數的大小是70°.

解題點評 處理該道與圓相關的問題時，學生可先思考要用到的一些定理，如圓周角定理、垂徑定理等，再對相關圖形中線段間的位置關系進行仔細分析，由此快速確定求解思路.

2 有關圓特征的問題求解技巧

例題

現有某一個內接有△ABC的圓O，點D位于CA延長線的上面，如果∠BOC=120°，試求∠BAD的大小.

解題過程

根據題干中已知信息給定的∠BAC對應長弧BC及圓心角就可以確定∠BAC的度數，即為∠BAC=12×（360°-120°）=12×240°=120°，繼而能夠求出∠BAD的度數，即為∠BAD=180°-120°=60°.

解題點評 本題主要涉及的是圓弧、圓心角這幾個圓的特征，處理這道問題時要注意深入挖掘這些關鍵信息，然后通過對彼此之間的相關性展開分析，快速確定解決該問題的思路.

3 有關圓作用的問題求解技巧

例題 求證：以等腰三角形的一個腰為直徑的圓能夠將底邊平分.

解題過程

本題要用到輔助線的方式進行求證，即：假設AB和AC是等腰三角形的兩個腰，且邊AB是圓O的直徑，底邊BC同圓O相交于點D，要想證明該等腰三角形的底邊BC被圓O平分，只需證明點D為邊BC的中點即可，也就是證明AD是△ABC的高，這時可以把AD連接起來，由于AB是圓O的直徑，所以能夠知道AD⊥BC，然后結合等腰三角形的“三線合一定理”就能證明出該結論的準確性.

解題點評 在求證本道題目中的結論時，不少學生看完題目內容后可能會感覺非常疑惑，不知道如何著手，由于解題條件和信息有限，無法快速找到突破口，運用輔助線能夠求證.

4 點與圓的位置關系求解技巧

例題 已知點P到⊙O上的點的最大距離為6厘米，最小距離為2厘米，那么圓的半徑r是多長？

解題過程

從本道題來看，分析題意可知點P不在圓上，那么應對點P和⊙O的位置展開分類討論，分為點P在⊙O內與⊙O外這兩種情況進行分類討論，畫出如下兩幅圖，（1）當點P在⊙O內時如圖1所示，PA=6cm，PB=2cm，則AB=PA+PB=6+2=8cm，即⊙O的半徑r=12×AB=12×8=4cm;（2）當點P在⊙O外時如圖2所示，PA=2cm，PB=6cm，則AB=PB-PA=6-2=4cm，即⊙O的半徑r=12×AB=12×4=2cm.

解題點評 確定點與圓的位置關系，從本質上來講就是確定該點到圓心的距離與半徑的大小關系，當關系不確定時，應分為點在圓內、圓上與圓外三種情況分類討論，分別求解.

5 有關圓內弦的問題求解技巧

例題 已知⊙O的半徑R的長度是5，圓內有兩條線AB與CD，且AB與CD平行，其中弦AD的長度是6，弦CD的長度是8，那么這兩條平行弦之間的距離是多長？

解題過程

學生在教師的指導下畫出以下圖形，（1）當兩條弦在圓心的同側時，如圖1所示，過點O作OE⊥AB于點E，交CD于點F，根據AB∥CD可知，OE⊥CD，結合垂徑定理可得EB=3，FD=4，在Rt△AOE和Rt△COF中，OA=OC=5，由勾股定理可得出OE=4，OF=3，則EF=4-3=1;（2）當兩條弦在圓心的異側時，如圖2所示，根據前面分析不難求出OE=4，OF=3，則EF=4+3=7，所以AB、CD之間的距離是1或者7.

解題點評 由于本題中沒有明確給出圖形，無法判斷兩條弦和圓心之間的位置關系，所以學生要考慮到兩條弦在圓心的同側或者則異側這兩種情形分別討論，分析可行性后求解.

6 結語

總而言之，在初中數學解題教學中，圓類問題是一類十分常見的題目，教師應利用好平常解題訓練的契機，多組織學生練習這些常見的題型，使其注重熟練掌握圓的性質，以及半徑、直徑、圓弧、弦、圓周角、圓心角的特征，同時指導他們學會運用輔助線配合解題.

參考文獻：

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