初中數學培養建模思想的實踐與探索

廖永宗

【摘要】縱觀當前學科，建模思想廣泛應用，其中數學學科也在解題教學中通過應用建模思想引領學生走出困惑，提升解題效率.所謂建模思想即運用模型提煉題目重要信息并在此基礎上結合相關數學建模知識針對重要信息建立模型，隨即高效解答相關問題.和其它解題方式相比，建模思想具有顯著優勢，能較好地簡化復雜知識，促使學生增強靈活運用知識分析和解決問題的能力，更能較好地鍛煉思維能力，對學生未來學習和發展有著重要現實意義.對此，本文則從多方面分析在初中數學培養學生建模思想的策略，望給予相關研究者提供參考.

【關鍵詞】初中數學;建模思想;培養策略

數學是一門集抽象性與邏輯性于一體的學科，涉及較多公式和定理，再加上知識點零散且繁多，要求學生具備較強的邏輯思維能力和判斷能力，正因如此，學生在理解和學習時不可避免會出現困難.同時，學生因多種因素影響，在解答數學題目過程中經常會出現思維混亂、粗心大意以及好費時間較長等現象，凸顯為學生傳授正確且高效解題技巧的必要性和重要性.建模思想能幫助學生在充分理解題目實質的同時梳理解題思路，提升解題效率與數學學習自信心，更對未來數學學習有著重要現實意義.

1 影響初中數學建模思想培養原因

作為一種全新學習方式，建模思想為學生自主探究知識提供空間.與此同時，數學建模教學也是教師和學生相互作用并持續溝通交流的過程.培養學生建模思想并非單純地疊加內外部知識，因為學生在建模學習中會遇到各種困難，多數初中生數學基礎知識水平和思維邏輯能力大致相同，故而，可從教師和學生層面分析影響初中數學建模思想培養原因.

1.1 教師因素

1.1.1 教學方式單一

隨著新課程改革全面實施，很多學科教師均改革和創新教學方式，從傳統灌輸式教學轉為啟發式教學.然而未徹底改革，教師在接觸新事物和概念時直接傳輸至學生，忽視學生自主探究，課堂教學效率偏低.

1.1.2 知識儲備不足

前幾年初高中數學教材并未較多地涉及數學建模，很多數學教師都是在學生時期才接觸建模知識，只有部分教師學習建模理論知識.尤其對運用建模思想解題方面并未融入自身理解，以致于建模教學深度不足.

1.2 學生因素

1.2.1 缺乏自信心

事實上，數學建模是一種創造性極強的活動，學生在解決問題中可能會出現難以把握建模方向和思路受阻等問題.若學生具備較強的心理素質，那么就能持續探究和學習.相關調查研究指出，大部分學生對數學建模方法較為感興趣，然而在分析和解決實際問題時因題干較長且不了解題目實際背景，不知解題方向，故而缺乏學習自信心.所以，數學教師可選取簡單應用題使學生獲取學習成功體驗，樹立學習自信心，為后續解決更為復雜和高難度問題做好鋪墊.

1.2.2 缺乏信息提煉技巧

數學建模最為重要的步驟即將現實問題轉化為數學問題.縱觀傳統數學問題，語言高度凝練，數據簡單，為了便于解題給出假設、圖形以及相關公式、概念，尤其部分復雜題目，以表格形式呈現復雜關系，學生對題目涉及數量和關系一目了然.再加上數學建模題目多描述現實生活生產情況，文字信息量大且數量關系相對復雜.學生只有有取舍地提煉相關信息才能理解題目.但多數學生因缺乏社會和生活經驗，閱讀理解能力相對薄弱，未明確不同量關系，難以整合信息，以致于在解題中頻頻出現問題.

2 在初中數學培養學生建模思想策略

2.1 貫徹循序漸進原則 提升學生學習自信

相關教育心理學認為，當人擁有成功經驗后會雄心勃勃，意氣風發，反之，失敗經驗則會打擊自信.初中數學教師針對學生對建模思想學習缺乏自信心的現狀時可精心選擇實際問題，緊貼學生現實生活且趣味性極強的問題，引領學生在此類問題中建立簡單模型，為后續分析和解決更為復雜問題做好鋪墊.

例1 教師在講解方程知識后為學生呈現以下問題：某款熱銷童裝標價為150元，正值六一兒童節，店家為吸引客源決定打折銷售，每件衣服打8折后仍可獲利20%，請問該童裝進貨價？

解析 毫無疑問，上述題目涉及方程知識，閱讀題目后提取以下關鍵信息：售價：150元，其中售價為標價的80%，利潤率為20%，隨即建立等量關系：（售價-進價）/進價=利潤率，再設未知數后列方程，即設該童裝進貨價為x元，轉化問題后求方程：150×0.8-xx=20%的解，最后解得x=100元.

對于初中生而言，打折銷售是生活中常見的情況，普遍較為感興趣.部分學生可能不太了解利潤和利潤的概念.數學教師可讓學生提前查閱相關資料對利潤和利潤率概念進行探索，此方式效率遠遠高于傳統死記硬背公式方式.當學生成功運用模型思想解題后就會樹立自信心，教師可進一步深化題目.

例2 某精細化工廠在購買原材料時以80元/箱購入60箱材料，所購材料分別應用于1號和2號生產染色劑車間.其中1號車間運用每箱原材料可生產出12千克染色劑，耗水4噸;2號車間則在生產過程中運用節能技術，減少耗水量近50%，但染色劑產出率則比1號車間少2kg.已知染色劑售價30元/kg，其中生產成本中，水費為5元/t.工廠為了響應國家提出的綠色節能理念，要求所有車間總用水在200t內，請問，該化工程如何在保證用水不超標的前提下實現利潤最大化，最大獲利為多少？

解析 雖然上述題目和例1相比較為復雜，但學生具備解答例1時成功建立模型經驗，依舊可順利梳理題目中重要量關系.再加上在解答例1時已理解利潤和利潤率，該題解答重點為利潤=產品總售價-原材料購買成本-水費.設1號車間運用x箱原材料，工廠共購入60箱原料，那么2號車間運用（60-x）箱原材料，從條件可得知，1號車間耗水量為4x噸，2號車間耗水量為2（60-x）噸，1號與2號車間產品總產量分別為12x千克與10（60-x）千克，兩個車間染色劑總售價為300（60[12x+1-x）]元，由此一來就可運用含有x的式子表示所有變量，有效處理信息.設最大利潤為w，即w=30[12x+10（60-x）]-80×60-5[4x+2（60-x）]=50x+12600，化工廠為響應節能減排目標，要求生產總用水在200t內，那么為4x+2（60-x）≤200，確定x范圍后，x≤40，隨x增大，w也在增大，當x=40時，w取最大值為14600元.

上述案例難度大于案例1，學生有了建模經驗后自信心大幅度提升，根據建模步驟整理信息，再建立模型后得出答案.數學教師在此過程中可給予適當點撥和引導，由學生獨立完成運用含x式子表示其他變量，提升學生學習質量.

2.2 緊抓重點轉化問題 簡化理解分析難度

通常建模需較長文字篇幅敘述，尤其部分建模題涵蓋較多學生未聽過的專業術語，數學教師需指導學生緊抓重點轉化問題，簡化理解難度，提升教學效率.與此同時，數學教師在教學過程中需引導學生分析原始問題并緊抓其中的主要因素，忽略對問題結果影響較小或基本沒有影響的次要因素.與此同時，在正確分析原始問題基礎上需引導學生尋找問題與數學模型之間的關系，最后再將問題轉化至數學模型，提高解題效率.一般初中生在解答數學問題時會將很多地精力投入至分析問題和結合用問題提供條件轉化至數學關系上，很少重視將數學計算將結果帶入最初問題中進行討論與檢驗這一步，從而長期在學習中過于依賴教師，依舊不理解未做過的問題.對此，教師在教學中應指導學生將重點傾向于問題模型.

例如 借助表格提取信息;借助表格梳理復雜數量關系或數量間有緊密關聯的建模題目，為迅速建模做好鋪墊.例如以下題目：某城市公交車具有宇通和金龍兩種類型客車，其中宇通客車可載客30人，租金280元/輛，金龍載客45人，租金400/輛.某學校根據自身實際情況計劃租賃5輛兩類客車送師生前往某基地參與實踐活動.請問如果保證車費不超1900元前提下可租多少輛金龍客車？若保證車牌不超1900元，師生共有195人，可設計出哪幾種可行租車方案？是否能設計最為省錢的租車方案？上述題目條件分散且多，較易混淆，可運用表格表示數量關系

解析 從上述表格中得知租金總數為400x+280（5-x），如果使租車費用在1900元內，即400x+280（5-x）≤1900，得x≤416，所以x最大值為4.從上述解析可得知，x≤416，x可能取值為0、1、2、3、4.隨即運用模型檢驗：

①宇通客車5輛，金龍客車0輛，車費：400×0+280×5=1400元，但載客量為45×0+30×5=150<195，不符題意，故舍去.

②宇通客車4輛，金龍客車1輛，車費為400×1+280×4=1520元，然而載客量為45×1+30×4=165<195，不符題意，故舍去.

③金龍客車 2 輛，宇通客車 3 輛，租車費用為400×2+280×3=1640元，載客量為45×2+30×3=180<195，不符題意，故舍去.

④宇通客車2量，金龍客車3量，車費為400×3+280×2=1760元，載客量為45×3+30×2=195=195，符合題目要求.

⑤宇通客車1輛，金龍客車4輛，車費為400×4+280×1=1880元，載客量為45×4+30×1=210元，符合題目要求.上述與題目要求相符的只有④與⑤，最為節省的租車方案為宇通客車2輛，金龍客車3輛.

3 結語

總之，數學是一門強調思維的學科，該學科核心即培養學生思維能力.在初中數學過程中應用建模思想能拓寬學生思維和眼界，形成清晰的解題和學習思路，提升解題效率和正確性.與此同時，巧用建模思想能深化學生對所學數學知識的理解和記憶，增強學生的歸納總結和創新能力，實現預期教育教學目標.教師在應用建模思想時應注重考慮學生學情與學科特征，最大限度發揮建模思想優勢作用，引領學生梳理學習思路，提升學習效率和學科教學質量.

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