用待定系數法求二次函數的解析式

趙漫莉

【摘要】 根據表格信息選用三種方法求二次函數的解析式.

【關鍵詞】 二次函數;解析式;平移;靈活

待定系數法求二次函數解析式是初中數學的重點內容，由于二次函數解析式不同于一次函數和反比例函數解析式，它有三種表達形式，選擇何種形式會影響到是我們是否能快捷、準確的求出關系式.

例 根據表格信息求二次函數解析式.

x…-4-3-2-1…

y…-15-24-27-24…

方法1 利用一般式求解

分析 把表格中的點都作為一般的點，建立三元一次方程組，求出待定系數.

解 設y=ax2+bx+c，把（-4，-15），（-3，-24），（-2，-27）代入，得

-15=16a-4b+c，-24=9a-3b+c，-27=4a-2b+c，

解得a=3，b=12，c=-15，

所以解析式為

y=3x2+12x-15.

注 知道三個點或者是三條信息，我們就可以設二次函數的一般式，列出三個關于a，b，c的方程，得出解析式.

方法2 利用頂點式求解

分析 通過仔細觀察表格我們可以發現（-3，-24），（-1，-24）縱坐標相同，那么這兩個點是對稱點，這兩點到對稱軸的距離相同，所以對稱軸為直線x=-2，從表格中我們還可以找到頂點（-2，-27）.因此我們可以用頂點式求解.

解 設y=a（x-h）2+k，把頂點（-2，-27）代入，得

y=a（x+2）2-27，

把（-3，-24）代入，得

-24=a（-3+2）2-27，

解得a=3，

所以解析式為y=3（x+2）2-27，

即y=3x2+12x-15.

注 知道對稱軸、頂點坐標或對稱點時，用頂點式求二次函數關系式比較簡單.

方法3 利用交點式求解

利用交點式求解析式關鍵是要知道拋物線與x軸的交點坐標，我們結合“平移”的知識可以得到拋物線與x軸的交點.

解 把表格中得到的各點向上平移24個單位得到

x…-4-3-2-1…

y…90-30…

我們可以得到平移后的拋物線與x軸的交點為（-3，0），（-1，0），

設拋物線解析式為

y=a（x+3）（x+1），

把（-4，9）代入，得

9=a（-4+3）（-4+1），

解得a=3，

所以解析式為y=3（x+3）（x+1），

即y=3x2+12x+9，

把圖象向下平移24個單位得到所求二次函數的解析式為

y=3x2+12x-15.

注 知道或是能夠推導出拋物線與x軸的交點時可以用交點式求解析式.

這個例題通過一題多解，可以幫助我們更深刻地理解如何靈活選擇合適的關系式求二次函數的表達式.