直線共軛液壓泵齒輪齒廓嚙合參數的幾何分析*

2022-07-25 02:59:44朱學明

機械研究與應用 2022年3期

朱學明，許蘢

(江蘇聯合職業技術學院，江蘇鹽城 224005)

0 引言

直線共軛內嚙合齒輪泵由于結構緊湊、流量脈動小、噪聲低等顯著優點在高端機床、塑料機械、海洋裝備、航空航天等領域有廣泛應用[1]。率先成功研發第一臺直線共軛內嚙合齒輪泵的是瑞士Turninger公司[2]，此項設計技術仍由國外掌握，目前還沒有公開完整規范設計體系。

國內大多學者以單一公式法、仿真法研究了直線共軛齒輪泵，而忽略其幾何意義。當直線共軛齒輪某些參數超過范圍時，純公式計算將會出現嚴重錯誤；同時單一公式計算并不能動態反映動態直線共軛齒輪嚙合過程。由于缺乏理論的指導，國內通過仿制法獲得的產品仍與發達國家產品有較大差距，研究思路并未獲得較大進展，魏偉鋒等[3]通過研究指出構建高效嚙合幾何模型的重要性；徐學忠等[4]研究了直線共軛齒輪，通過向量方程求解速度最終獲得滑動系數，過程較為繁瑣，同時僅獲得單一滑動系數；董永昌等[5]、徐學忠等[6]學者研究了其部分嚙合特性，但都缺乏嚙合參數的系統分析；許蘢等[7]雖然基于Willis定理建立幾何模型分析了重合度、嚙合線以及共軛線，顯示幾何分析的巨大威力，但并未對嚙合角、壓力角、滑動系數嚙合參數進行進一步分析和計算。

幾何對嚙合角、壓力角、滑動系數等分析有著先天的優勢，若超過范圍將無法作圖，同時可動態進行分析與計算，因此對其的研究顯得非常有必要。專為它開發分析軟件并不經濟，結合常用的SolidWorks軟件、Excel軟件就可對直線共軛齒輪嚙合的整個過程進行動態分析，從而指導設計。

諸多資料在研究直線共軛內嚙合泵時都采用了一些范例，由于這些范例具有通用性，筆者同樣以范例形式進行幾何分析和計算。重點是通過使用幾何方法對直線共軛齒輪的嚙合參數進行分析，得出齒廓嚙合的規律，為直線共軛齒輪齒廓設計提供參考。

1 工具及基本理論

齒輪設計應考慮各嚙合參數如嚙合角、壓力角、滑動系數等，目前已有資料中的齒輪嚙合參數求解都圍繞嚙合線方程展開。直線共軛齒輪傳動是一個動態過程，也是嚴格的幾何嚙合過程，同樣可通過幾何方法進行求解。

1.1 求解工具介紹

SolidWorks是優秀CAD/CAM軟件之一，它具有功能強大、易學易用和技術創新的特點，使用它可使設計更加高效。

與本文相關為參數化草圖功能，草圖中常用的幾何關系：水平()、豎直()、垂直()，剪切可自動產生交點()等；一旦標注尺寸，默認為驅動尺寸，也可修改為從動尺寸；參數化草圖中數據導入Excel軟件后可根據需求設定間隔后進行進一步分析和求解，同時保持幾何關系。

1.2 直線齒廓基圓及嚙合線概念

直線共軛齒輪組其中一個齒輪齒廓為直線，由于直線特殊性，過圓心O1點作直線齒廓反向延長線的垂線，垂足為F，將以O1F為半徑的圓稱為直線齒廓齒輪基圓，在傳動過程中基圓不發生改變，如圖1所示。

圖1 直線齒廓齒輪基圓定義

根據Willis定理[8]，過兩節圓交點P點作齒輪1直線齒廓所在直線L的垂線，垂足為E點，rj1為節圓1的半徑(定值驅動尺寸)，O1F為定值(驅動尺寸)，拖動直線L(O1F繞著O1旋轉，并且保持O1F⊥EF)，可獲得嚙合點E的軌跡即為嚙合線，則PE為公法線，直線L(EF)為公切線，如圖2所示。

圖2 嚙合線生成

1.3 嚙合角定義

嚙合線與兩節圓公切線所夾銳角稱為嚙合角(漸開線齒輪定義)。嚙合角較小時，重合度較高，齒面滑動系數較大，齒根較瘦，抗彎強度較差，不適合大扭矩傳遞，反之相反[8]。

對于直線共軛齒輪，根據定義E點為嚙合線上的一點，作兩節圓的公切線，則角θ為嚙合角，嚙合角隨著E點的移動而變化。如圖3所示，嚙合角θ它是一個變化值，和漸開線齒輪嚙合角為固定值不同。

圖3 嚙合角幾何定義

1.4 壓力角定義

力方向與其作用點速度方向所夾的銳角稱為壓力角，即該作用點法線方向與速度方向夾角[8]。壓力角越小，傳動性能好；壓力角越大，實際有用功越小，它只增加了摩擦力矩。機構運動中壓力角不斷變化，一般機構壓力角不超過50°。

對于直線共軛齒輪，E點為嚙合線上一動點，切線為EF，法線為PE。過E點作EZ垂直于O1E，EZ為速度的方向，如圖4所示，角α即為齒輪1壓力角，它是一個變化值，同理可幾何作圖求出齒輪2的壓力角。

圖4 齒輪1壓力角幾何定義

1.5 滑動系數定義

齒輪嚙合點處兩齒間相對切向速度(即滑動速度)與該點切向速度的比值稱為滑動系數，用η表示[8]。齒輪1的滑動系數為：η1=(vt2-vt1)/vt1；齒輪2的滑動系數為：η2=(vt1-vt2)/vt2。

齒輪嚙合傳動時，齒廓接觸點的相對滑動將會引起齒輪的磨損，而相對滑動的大小又與齒廓曲線的性質有關。齒輪傳動一般既有滾動又有滑動，齒輪的齒根滑動系數大于齒頂的滑動系數；小齒輪滑動系數大于大齒輪滑動系數。

2 直線共軛內嚙合泵幾何分析范例

根據已知條件分析可知內齒輪2節圓半徑rj2=34.667 mm、傳動比i12=1.3，整體尺寸如圖5所示。

圖5 經典直線共軛內嚙合齒廓整體尺寸

根據理論分析，外齒輪1齒廓為直線，可作圖求解其基圓半徑，如圖6所示，可知齒輪1基圓半徑為O1F=14.264 mm，O1O2=8 mm(圖中可省略兩尺寸)。

圖6 作圖求解直線齒輪基圓半徑

2.1 嚙合角求解過程

(1) 根據1.3節嚙合角定義，角θ為嚙合角，建立幾何模型如圖7所示。

圖7 嚙合角幾何模型

(2) 保持模型幾何關系，以嚙合點E點的X坐標為驅動尺寸，嚙合角θ角為從動尺寸，結合Excel軟件，驅動尺寸間隔設置為0.01 mm(以下同)，獲得關系曲線如圖8所示。

圖8 嚙合角變化分析

(3) 從c點到d點的嚙合過程中，嚙合角的值逐漸變大，c點嚙合角為最小值11.14°(X方向值為-8.94 mm)，d點嚙合角為最大值48.95°(X方向的值為3.84 mm)，嚙合角平穩過渡無突變，兩極限位置嚙合角分析如圖9所示。

圖9 兩極限位置的嚙合角

2.2 壓力角求解

(1) 根據1.4節定義，如圖10所示，角α即為齒輪1的壓力角。

圖10 壓力角幾何模型

(2) 保持模型幾何關系，以嚙合點E點的X坐標為驅動尺寸，壓力角α為從動尺寸，結合Excel軟件，關系曲線如圖11所示。

圖11 直線齒輪1壓力角曲線

(3)E點從c點到d點的嚙合過程中，齒輪1壓力角逐漸變大，c點的壓力角為最小值28.60°，d點的壓力角為最大值39.17°，壓力角的過渡平穩無突變，兩極限位置壓力角分析如圖12所示。

圖12 兩極限位置的壓力角

2.3 滑動系數求解

(1) 根據1.5節定義，過嚙合點E點作O1E與O2E的垂線，與直線EF(為嚙合的切線)的夾角分別為δ1和δ2，O1E為嚙合半徑R1，O2E為嚙合半徑R2，如圖13所示。

圖13 滑動系數的幾何模型

(2) 根據滑動系數的定義，vt1=ω1R1cos(δ1)；vt2=ω2R2cos(δ2)，ω1為齒輪1轉動的角速度；ω2為齒輪2轉動的角速度，將傳動比關系ω1=1.3ω2代入公式，則η1=(vt2-vt1)/vt1=R2cos(δ2)/[1.3×R1cos(δ1)]-1。根據公式，只要查詢嚙合E點cd段任一位置的R1、R2、δ1和δ2四個值導入Excel軟件，通過公式即可求出滑動系數，滑動系數關系曲線如圖14所示。

由于E點公切線方向速度值不同從而引出了滑動系數，在公法線上方向上速度的值應該相同(否則會出現脫離的現象)，在Excel中進行計算η法=vt2/vt1=R2sin(δ2)/[1.3×R1sin(δ1)]，計算結果皆為1，如圖14所示，說明法向的速度相等。