因式分解的巧用

劉賢華

因式分解是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，是進行代數(shù)恒等變形的重要工具，利用因式分解可以解決求值或一元二次方程等常見問題，除此之外，因式分解還有一些別樣的應用.下面舉例說明.

1 求值

例1 已知a2+14b2=2a-b-2，則3a-12b的值為（）

（A） 4.（B） 2.（C）-2.（D）-4.

分析 應先將已知等式變形為兩組完全平方式的和等于0的形式，再將相關的式子因式分解，借助非負數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，再將a，b的值代入求值.

解 將a2+14b2=2a-b-2變形為

a2-2a+1+14b2+b+1=0，

即（a-1）2+12b-12=0.

可得a-1=0，12b-1=0，

解得a=1，b=2，

則3a-12b=3×1-12×2=2.

故選（B）.

2 整除問題

例2 對于任何整數(shù)m，試判斷：多項式（4m+5）2-9是否都能被8整除，并說明理由.

分析 將這個多項式分解因式，根據(jù)結果是否為8的倍數(shù)來進行說理.

解 能被8整除.

理由：（4m+5）2-9

=（4m+5+3）（4m+5-3）

=（4m+8）（4m+2）

=8（m+2）（2m+1）.

因為m是整數(shù)，m+2和2m+1都是隨著m的變化而變化的整數(shù)，

所以該多項式能被8整除.

3 比較大小

例3 設a=8582-1，b=8562+1713，c=14292-11422，則a，b，c之間的大小關系是（用“<”連接）.

分析 借助平方差公式和兩數(shù)和的平方公式，分別表示a，b，c的算式進行因式分解，通過比較相關的結果，從而得出a，b，c之間的大小關系.

解 因為a=8582-1

=（858+1）×（858-1）

=859×857，

b=8562+1713=8562+2×856+1

=（856+1）2=8572，

c=14292-11422=（1429+1142）×（1429-1142）

=2571×287=857×3×287

=857×861.

而8572<859×857<857×861，

所以b

4 判斷三角形的形狀

例4 已知a，b，c是△ABC的三條邊，且滿足a2+bc=b2+ac，則△ABC是三角形.

分析 將已知的等式變形，使得等式左邊是一個多項式，右邊等于0，再將等式左邊的多項式分解因式.

解 將a2+bc=b2+ac變形為a2-b2+bc-a=0.

因為a，b，c是△ABC的三邊，

所以a+b-c≠0.

因為a2-b2+bc-ac

=（a+b）（a-b）-c（a-b）

=（a-b）（a+b-c）

=0，

所以a-b=0，

所以a=b，

所以△ABC是等腰三角形.