聚焦數(shù)學模型 提升科學思維

陜西 王昌魁

(作者單位：陜西省安康市石泉縣石泉中學)

數(shù)學模型是發(fā)展學生科學思維重要的手段之一，其內(nèi)涵是針對某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關系，采用數(shù)學語言，概括地或近似地表述的一種數(shù)學結構。因此，在高考的復習備考中，教師要立足靜態(tài)的生物學表象，用深度的數(shù)學語言來引導學生升華自己的思維水平，推動學科之間的融合，實現(xiàn)沖刺階段的“拔高訓練”。這不僅僅是考試本身的要求，更是學科發(fā)展對學生綜合素質的內(nèi)在要求。下面筆者結合常見的數(shù)學模型圖像分析題，談談相關理解。

生物學數(shù)學模型主要以各種函數(shù)圖像呈現(xiàn)，因此對坐標曲線的分析顯得尤為重要。借助生物學實驗的描述，在各類知識板塊中可根據(jù)自變量的數(shù)量、曲線的數(shù)量，將各類曲線圖大致分為單曲線單自變量、單曲線多自變量、多曲線多自變量三種類型。上述曲線雖有多種，但在具體分析時也要遵循從簡單到復雜、從單一到多數(shù)、從相同到不同的原則逐一展開分析。

1.單曲線單自變量分析

以常見的酶促反應速率曲線為例：

圖1、圖2均是單曲線單自變量變化曲線，在生物學基礎考題中比較常見，相對而言這類曲線的分析比較簡單，對曲線的分析一要準確認識自變量(X變量)和因變量(Y變量)，二要看清走勢并準確定位曲線拐點的真實含義。

圖1

圖2

圖1自變量是溫度，因變量是酶促反應速率。曲線先增長后下降的趨勢說明溫度對反應速率的影響是一個先升高后下降的過程，曲線變化過程中存在一個反應速率最大值B點，其對應的溫度即為酶促反應的最適溫度。由于酶的活性會受到溫度的影響，因此本圖很好地描述了溫度通過影響酶活性來影響酶促反應速率，實驗溫度只要偏離最適溫度就會使酶活性下降，從而使反應速率下降。

圖2自變量是反應物濃度，因變量是酶促反應速率。曲線先增長后持平的趨勢說明在AB段反應速率隨著反應物濃度增大而增加，該段的限制性因素是反應物濃度，B點之后曲線持平，反應速率不再升高，說明反應物濃度不再是反應速率的限制性因素。探究其原因，是由于實驗期間酶的濃度或者數(shù)量一定，必然存在飽和現(xiàn)象，因此，在酶飽和之后，反應物濃度就不足以升高酶促反應速率。B點后的限制性因素則為酶的濃度或數(shù)量。

2.單曲線多自變量分析

【例1】將某綠色植物放置在密閉透明的容器中，給予恒定且適宜的光照，在不同的溫度條件下測定容器中CO2濃度的變化，結果如圖3所示(該植物光合作用的最適溫度為25℃，細胞呼吸的最適溫度為30℃)。下列敘述錯誤的是 ( )

圖3

A.從A點到B點的過程中，光合速率不斷減小直至穩(wěn)定

B.在B、C點時，限制光合速率的主要環(huán)境因素不同

C.與B點相比，C點時植株的光合速率變小

D.處理12 h后，該植物積累了少量的有機物

分析策略：單曲線多自變量圖像稍顯復雜，此類坐標圖像題首先要提煉坐標圖像要素，對這種多自變量的圖像的分析，要注重“從果入手”，分區(qū)間討論，尤其注重對斜率的分析，探尋內(nèi)部生物學規(guī)律的實質變化，不僅要關注某一區(qū)間的變化，還要思考整體的曲線變化。

本題以時間變化、不同溫度為自變量，容器中CO2濃度為因變量，在不同時段內(nèi)分別用不同溫度處理綠色植物，從而繪制出一條完整曲線。AB段實驗溫度為25℃(光合作用最適溫度)，曲線呈下降趨勢，說明容器中CO2濃度降低，即光合作用速率大于呼吸作用速率，曲線斜率逐漸降低，說明二者之間的差距在減小。CO2作為光合作用原料，濃度的降低必然導致光合速率降低直至自身內(nèi)部平衡，此時CO2濃度就會呈現(xiàn)先降低最終保持穩(wěn)定的態(tài)勢。

BC段實驗溫度為30℃(呼吸作用最適溫度)，曲線呈升高趨勢，說明容器中CO2濃度升高，即呼吸作用速率大于光合作用速率，曲線斜率也在逐漸降低，同樣也說明二者之間的差距在減小。O2濃度作為呼吸作用的原料，會因為呼吸作用的消耗而逐漸降低，最終必然導致呼吸速率降低至等于光合速率，此時CO2濃度會呈現(xiàn)先升高后保持穩(wěn)定的態(tài)勢。

B點和C點處曲線都呈現(xiàn)持平狀態(tài)，說明均存在光合作用速率等于呼吸作用速率的情況，B點此刻限制性因素即為CO2濃度；同樣是呈持平狀態(tài)，C點卻是先升高再持平，此刻限制性因素即為O2濃度。

B點和C點之間的光合速率大小比較，可以借用等量代換來理解。經(jīng)分析得知：B點V(B光合)=V(B呼吸)；C點V(C光合)=V(C呼吸)；而30℃是呼吸作用最適溫度，故V(C呼吸)>V(B呼吸)，因此V(C光合)>V(B光合)。

C點縱坐標低于A點縱坐標，說明12 h后的CO2濃度相比實驗初始降低了，CO2濃度變化作為光合作用和呼吸作用共同比較的結果，其濃度降低說明整體光合作用強度大于呼吸作用強度，減少的CO2被用于合成植物自身有機物。

3.多曲線多自變量分析

【例2】圖4表示O2濃度和溫度對洋蔥根尖細胞有氧呼吸速率的影響。下列敘述錯誤的是 ( )

圖4

A.與a點相比，b點與有氧呼吸相關酶的活性較低

B.與b點相比，限制c點有氧呼吸速率的因素有溫度和氧氣濃度

C.由圖可知，細胞有氧呼吸的最適溫度位于30℃和35℃之間

D.氧氣濃度不變，a點時適當提高溫度，細胞有氧呼吸速率可能增大

分析策略：對多曲線多自變量曲線圖的分析仍然要建立在對單曲線的理解基礎之上，教師要引導學生在識別單條曲線變化走勢的基礎之上，重點觀察各曲線的相同或相似之處和不同之處，結合曲線差異分析內(nèi)在原因，尤其是不同拐點所代表的深層次含義。

圖4坐標圖像中自變量是O2濃度和不同溫度，因變量是有氧呼吸速率，以多條曲線表示不同溫度之間的實驗結果差異。各曲線的相似之處在于都表現(xiàn)出先升高再持平的大趨勢，且各曲線在起始段都有一部分重合，說明在一定O2濃度下，有氧呼吸速率都隨O2濃度升高而升高，該階段O2濃度是曲線的限制性因素，而曲線持平則說明O2濃度不再是該階段的限制性因素，即影響因素發(fā)生了變動。不同曲線拐點的差異同時體現(xiàn)在O2濃度和有氧呼吸速率值，說明在不同溫度條件下，使有氧呼吸速率達到最大時所需的最小O2濃度各自不相同，再次揭示溫度差異導致生理過程各方面產(chǎn)生差異。

制約有氧呼吸速率的因素很多，但教師要引導學生注意據(jù)圖分析。在曲線持平階段，相同的O2濃度卻在不同溫度下表現(xiàn)出不同的有氧呼吸速率，說明該階段的限制性因素已經(jīng)明確為不同溫度。

溫度通過影響酶活性進而影響有氧呼吸速率，a點有氧呼吸速率高于b點，所以a點酶活性高于b點。對于c點而言，橫坐標對應的是20%的O2濃度，b點所處的20℃曲線高于c點所處的15℃，因此升高溫度可以增大c點有氧呼吸速率，故溫度是該點限制性因素，而c點正處于曲線升高階段，升高O2濃度同樣也可以增大有氧呼吸速率，限制性因素也包括O2濃度，故相對于b點，c點限制性因素為溫度和O2濃度。曲線有氧呼吸速率最高值在30℃曲線上，故暫時只能認定30℃是最接近酶的最適溫度，而最適溫度區(qū)間則應選擇20～35℃。有氧呼吸酶的最適溫度不能確定，只能據(jù)圖確定為20～35℃，因此氧氣濃度不變時，適當提高a點溫度，有可能增大細胞呼吸速率。

4.反思與啟示

4.1數(shù)學模型有助于發(fā)展學生嚴密的思維邏輯

“科學思維”強調(diào)運用科學的思維方法認識事物，能夠基于生物學事實闡釋生命現(xiàn)象及規(guī)律。而利用數(shù)學模型描述生物學規(guī)律，可以很好地用數(shù)學原理推演進而把復雜多變的生物學規(guī)律呈現(xiàn)出來，從而使學生意識到生物學現(xiàn)象也“有章可循”，生物學現(xiàn)象的變化也要遵循一定的邏輯規(guī)律，這樣才能使零散的生物學現(xiàn)象在嚴密的數(shù)學模型下以一種全新的姿態(tài)呈現(xiàn)在學生面前，故而在分析嚴密的數(shù)學模型時，教師可以進一步強化學生思維邏輯的嚴密性，同時在一定程度上提升了學生運用數(shù)學工具解決生物學問題的能力。

4.2數(shù)學模型有助于提升學生的審辯思維

在數(shù)學模型的建模、分析過程中，教師要引導學生從多角度分析曲線變化的表象，從而指導學生思考曲線變化的內(nèi)在原因，要培養(yǎng)學生堅持探究事物真相、勇于思考和辨析的科學態(tài)度，同時學生也要從不同角度思考曲線變化的含義，質疑原有解釋或者提出新解釋，借助多方數(shù)據(jù)和合理證據(jù)，經(jīng)過數(shù)理推演然后驗證自我正確性。這個過程深化了學生的知識理解程度，尤其是對動態(tài)的生物學規(guī)律變化有了更深入的思考，同時也培養(yǎng)了學生去偽存真的科學態(tài)度和審辯思維。

4.3分析數(shù)學模型有助于提升學生的表達和溝通能力

生物學是一門實驗科學，其學科特點要求學生既要掌握生物學一般規(guī)律，更要準確描述生物學的規(guī)律現(xiàn)象。通過對數(shù)學模型的集中探討，不管是在學生自主分析、展示的過程中，還是在師生互動中，以及同學之間的協(xié)作討論中，學生都需要組織合理、規(guī)范的生物學術語，借助嚴密的邏輯推演來表達自己的觀點。學生通過交流溝通，既鍛煉了表達能力，更使得頭腦中的邏輯思維可以借助準確的語言文字表達出來，實現(xiàn)“心口合一”，提升了科學思維能力。