微積分中常用經濟最優化問題解決方案的分析

□焦 華

在經管類微積分教程中一定包括有微分學和積分學在經濟學中的應用，這是和理工類微積分不一樣的地方。反映到具體章節上通常有常用經濟函數、經濟學中的導數(邊際與彈性)、數學建模——最優化、積分在經濟分析中的應用等。這里常用經濟最優化問題是指：已知需求函數或價格函數，就可以確定收入(益)函數。若還已知成本函數，就可以確定利潤函數。最優化就是求利潤函數的最大值點、最大值。解決問題的工具就是微積分中的導數(一階及二階導數)。

一、常用經濟最優化問題的一元函數模型

需求函數Q=f(P)刻畫的是商品的需求量與價格之間的函數關系，這是一個單調減函數，價格越高需求量越小，價格越低需求量越大，P=0(不要錢)時需求量達到最大。需求函數是一個神奇的函數，知道公司的定價，就能確定它的銷量；反過來，知道公司的銷量就能推算出它是以什么價格賣出去的。那這個神奇的函數是怎么得到的呢？應該是經驗公式或統計數據的擬合——線性回歸或非線性回歸等……需求函數的反函數是價格函數，它們可以相互推出Q=f(P)?P=f-1(Q)，即互為反函數。

由兩者之一可推出收入函數R=P·Q=P·f(P)=Q·f-1(Q)，如果已知成本函數C=g(Q)，則可推出利潤函數L=R-C=Q·f-1(Q)-g(Q)=P·f(P)-g(f(P))。因此利潤函數可以是銷量的函數也可以是售價的函數，具體怎樣選擇視問題的要求而定。利潤函數確定后，接下來求最大利潤就是求函數的最大值，用微積分的方法，首先由極值的必要條件找到駐點(求一階導數)，其次由極值的充分條件驗證駐點是極大值點(求二階導數)，最后通常用到“唯一的極值點必是最值點”得到問題所需的結論。下面通過三個實例來說明解決這類問題的方法和步驟。

注：該題也可用初等的配方法得到解決。

實例2：某企業生產某種產品的總成本函數為C(x)=60x+2,000，該產品的需求函數為x=1,000-10p(其中x為需求量，p為價格)，求：(1)收入函數R(x)及利潤函數L(x)；(2)產量x為多少時，利潤達到最大？

(2)當P=50時的邊際利潤，并解釋其經濟意義；

(3)使得利潤最大的單價P。

(1)總收入函數R(P)=PQ=1,000P(60-P)=60,000P-1,000P2,

總成本函數C(P)=60,000+20Q=1,260,000-20,000P,

總利潤函數L(P)=R(P)-C(P)=-1,000P2+80,000P-1,260,000,

注意到前面兩個實例中利潤函數是產量的函數，而該實例利潤函數是價格的函數，這樣做是為了解決第2個和第3個小問，此時邊際利潤L′(P)=-2,000P+80,000;

(2)當P=50時的邊際利潤L′(50)=-20,000，其經濟意義為在P=50時，價格每提高1元，總利潤減少20,000元。

因此L(P)在(0,40)遞增，在(40，+∞)遞減，由極值的第一充分條件駐點P=40是極大值點。由于唯一的極值點是最值點，所以當P=40時，總利潤最大。

通過前面三個實例可看出：x或Q在需求函數或價格函數中代表的是需求量；在收入函數中代表的是銷量；在成本函數中代表的是產量；在企業實際經營活動中，這三個量通常是不相等的。因此能夠完美利用微積分解決這類問題是作了理想假設的，那就是：需求量=銷量=產量。如果沒有這樣的假設前題，上面的解法將“土崩瓦解”。提出邊際與彈性的經濟學家阿爾弗雷德-馬歇爾曾指出:經濟學具有和物理學相類似的科學性。物理學中有理想實驗、理想假設，比如勻速直線運動、忽略空氣阻力等，將實際問題的模型簡化有助于問題的解決，追求的是大致的正確。因此上面的理想假設“需求量=銷量=產量”是允許的。再有前面三個實例都應用了“唯一的極值點是最值點”這一結論，這種簡略方式并不嚴謹，該結論可詳盡地描述為：函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)上可導，而且函數有唯一的極值點(有極大值就沒有極小值，有極小值就沒有極大值)，那么該極值點就是函數在閉區間[a,b]上的最值點。這個可以當成定理用的重要結論很多微積分或高等數學的教材沒有表述清楚，甚至有本全國通用的微積分教材出現了只要求“函數f(x)在閉區間[a,b]上連續”、漏掉了“在開區間(a,b)上可導”這樣的錯誤。

二、常用經濟最優化問題的多元函數模型

上面是常用經濟最優化問題的一元函數模型，下面討論它的多元函數模型，以二元函數為例，其余以此類推。此時問題的提出通常是一個企業(公司)的兩種產品市場或一種產品的兩個獨立市場，于是出現了兩個需求函數：Q1=f(P1),Q2=g(P2)或Q1=f(P1，P2),Q2=g(P1,P2)，后一種情形表達的是兩種產品具有互相關聯或可互相替代的屬性。當然這類問題也可以用兩個價格函數代替兩個需求函數。于是收入函數、成本函數、利潤函數都變成了二元函數，用多元函數微分學的工具解決問題。實例如下：

實例4：某工廠生產的同一種產品分銷兩個獨立市場，兩個市場的價格函數分別為：P1=60-3Q1,P2=20-2Q2,總成本函數為C=12(Q1+Q2)+4,工廠追求最大利潤，求此時投放每個市場的產量為多少？

解：由題設兩個市場的總收益函數為：

從而工廠的利潤函數為：

AC-B2=24>0,A<0,故由極值的充分條件(8，2)是極大值點。

由于唯一的極值點必是最值點，所以當投放每個市場的產量分別為8和2時工廠可獲得最大利潤。

實例5：設某公司生產甲、乙兩種產品，這兩種產品的產量已知分別為q1和q2時，銷售價格分別為：p1=120-5q1和p2=200-20q2，總成本為C(q1,q2)=35+40(q1+q2)，問甲、乙兩種產品產量為多少時，能使該公司獲得的總利潤達到最大？最大利潤又是多少？

解：總收益為R(q1,q2)=p1q1+p2q2=120q1-5q12+200q2-20q22

總利潤為：L(q1,q2)=R(q1,q2)-C(q1,q2)

=80q1-5q12+160q2-20q22-35

Lq1=80-10q1,Lq2=160-40q2

令，Lq1=80-10q1=0,Lq2=160-40q2=0得駐點q1=8,q2=4

在q1=8,q2=4處，有

Lq1q1=A=-10,Lq1q2=B=0,Lq2q2=C=-40

AC-B2>0,又A<0

由極值的充分條件(8，4)是極大值點。由于唯一的極值點必是最值點，所以在q1=8,q2=4時，該公司獲得最大利潤，最大利潤是L(8,4)=605。

實例6：設q1為某商品A的需求量，q2為某商品B的需求量，兩種商品需求函數分別為

q1=16-2p1+4p2,q2=20+4p1-10p2

總成本函數為C=3q1+2q2,p1,p2為商品的價格，試問價格p1,p2取何值時，企業可使利潤達到最大？

解：總收入函數為R=p1q1+p2q2

于是，總利潤函數為：L=R-C=(p1-3)q1+(p2-2)q2

=(p1-3)(16-2p1+4p2)+(p2-2)(20+4p1-10p2)

注意：與前面兩個實例不同，該實例中需求函數中q1不僅與p1有關，還與p2有關；q2不僅與p2有關，還與p1有關，如何理解？具體教學過程中教師應當講清楚A與B是關聯商品、是可替代商品，比如食鹽與醬油、兩個不同廠家的臘香腸等，這樣學生就能較好地理解該實例中的需求函數。

三、結語

在經管類微積分教程中包含的微積分在經濟學中的應用，數學內容并不復雜，關鍵是要理解其經濟學相關的概念的含義。這部分內容是微積分和微觀經濟學的交叉結合，多數微積分教材講得不夠通透，是因為作者專業背景是數學，對經濟學缺乏深入研究，但微積分作為公共基礎課，不能期待它解決所有的問題，它能給予學生一個扎實的數學基礎就行，剩下的交給后續課程的專業課教師。