新課標下初中數學方程應用建模能力的培養路徑

江霞

（福州第十八中學，福建 福州 350007）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》對數學知識點做了小幅增刪，小學階段取消了“簡易方程”，加強了對基本概念的感悟和符號意識的培養［1］。這個刪減必然會對初中數學方程應用教學帶來影響。數學建模能力作為數學核心素養的重要方面之一，對學生的數學學習具有重要的影響，尤其是在錯綜復雜的數學問題求解中，通過建?？梢院喕瘑栴}求解步驟，激發學生數學學習興趣，感受數學的魅力。教師在教學中要強化培養學生的數學建模思維，并以該思維求解決具體的數學應用題，推動課堂教學內容的實踐轉化，提升數學方程應用教學的質量和效率［2］。初中數學方程建模旨在對既有知識點構筑數學模型，提升學生數學問題求解能力。對此，數學教師要認真思考初中階段如何培養學生的數學方程建模能力，以便滲透數學應用意識。數學方程建模的過程，是實踐和理論融合的過程，也扎實學生對相關數學問題和數學知識的學習，讓其更好地領會教學思想及其蘊含的數學求解策略。

數學方程建模教學的開展，可培養學生在數學問題的求解中，以“建模思想”來解決非數學語言問題；并在合作交流乃至創造性實踐中，進一步發揮學生的參與意識和參與熱情。

一、初中生方程應用建模方面存在的問題

雖然小學的簡易列方程解應用題為學生初中學習方程及其應用做良好的鋪墊，但是還不夠。初中一元一次方程、二元一次方程（組）及二元一次方程貫穿整個初中三年基本應用題、綜合題，是提高學生的思維能力、數學應用和創新能力的重要途徑。初中生在列方程解應用題建模方面有如下三點困難：其一，生活經驗的不足或者生活經驗與數學完全脫離。不少學生過著衣來伸手飯來張口的生活，對數學應用及概念經驗缺乏感知，因此遇到以生活實際為背景的應用問題毫無頭緒、無從下手。他們不知道如何梳理問題中的有效信息及數量關系，也不知道如何靈活地運用數學公式。其二，閱讀文字和理解文字能力的欠缺。這是初中學生解應用題難的另一因素。由于大多數學生缺乏認真閱讀題目的耐心和細心，對題干感悟和理解層次不足，尤其是遇到文字量較大的應用題，學生很容易視覺疲憊，分不清文字的主次，抓不住文中的關鍵字眼。其三，方法和技巧的欠缺。學生在平時的學習過程中，重結果輕過程，沒有深刻地理解問題的本質，也沒有把所學知識進行歸類總結、轉化為數學模型。因此，學生選擇問題的分析方法時不夠靈活和大膽，分析問題時比較被動和呆板，缺少動用多種途徑嘗試、尋找數量關系的意識和習慣。

二、初中生列方程解應用題建模能力培養路徑

（一）遵循原則，構建真實學習情境

在課堂設計中，教師要遵循教學設計基本原則，設計出的建?；顒幽康哪芨鞔_，最終達到學以致用的效果；支持學生發掘問題，避免強加給他們額外的學習目標；設計出真實的學習情境，使學生能經歷與現實世界類似的認知挑戰。生活化的教學情境設計也能讓學生更主動參與數學學習，有更大的主動性，還能在多模式的情境驗證中求得不同的觀點。通過創設情境進行教學，幫助學生在真實或接近真實的情境中有效解決相關數學問題。

在生活問題解決中，數學建模方法的養成，還需結合實踐活動、社會熱點、日常生活等，有效解決相關數學知識、建立模型。為引導學生深入社會、農村、工廠、企業等地方，取得第一手資料，從身邊的基本問題觸出發。在數學和生活的密切管理中，更好地讓教學融入生活，并培養學生的應用數學思想能力。

案例1.年關將至，11 月份某服裝廠每天生產女裝300 套，或男裝200 套，每生產一套女裝需要成本50 元，可盈利24 元；每生產一套男裝需要成本120元，可盈利60 元。若要使該服裝廠盈利264000 元，則11 月份應安排生產女裝、男裝各多少天？

本題是關于利潤的數學建模問題。引導學生理解生活中成本、售價、數量、利潤等概念（注意單件利潤與總利潤的區別），提取題型中的有效信息。

已知西服、童裝單件的成本和利潤，生產的天數未知。若設二元，可設生產女裝x天，生產男裝y天。根據利潤公式找等量關系，總利潤=單件利潤*生產數量，建立數學模型，可得方程組：

若設一元，也可根據利潤的數學模型列出一元一次方程300 × 24x+200 × 60(30 -x)=264000。

在該二元一次方程知識點考察上，二元一次方程有無數個解，除非題目中有特殊條件。

而二元一次方程組有解，有且只有唯一的一組解，即x,y的值只有一組。

但當方程組中上下兩式相等時，則有無數個解。當兩式平行時，無解，如x=y,x又等于y+1。

在解法上，減少未知數的個數，使多元方程最終轉化為一元一次方程再解出未知數。這種將方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決的解法，叫做消元解法。即有些題型既可以設二元又可以設一元的思想，解決類似應用題。

（二）剝繭抽絲，提升數到式轉化

數學建模實質上是去粗取精、去偽存真、抽象概括的過程。在當下的數學課堂教學中對初中生文字理解能力不足，如果遇到文字量大的應用題，學生會視覺疲勞，分不清題干的主次，抓不住題目中的關鍵字眼的問題。為此應培養學生的檢索能力，讓學生在移植的數學模型中，建構基本數學，并確保其在培養學生檢索能力上更靈活。數學建模教學中，落實培養聯系實際、全面考慮問題等的能力。為在課本知識的教學中發展學生的建模思想，除了嚴格數學建模的一般步驟外，還需綜合培養學生的數學建模思想；在實際中解決相關問題，促進學生數學素質提高。

以列方程解應用題模型為例，求解“一元二次方程中的平均變化率”問題。

案例2.由于新冠疫情的擴散，核酸檢測的需求加大，工廠加大的投資力度。2020 年用于生產核酸檢測試劑投資40 萬元，2021 年用于生產核酸檢測試劑投資48.4 萬元，求兩年間生產核酸檢測試劑投資的平均年增長率。

1.引導學生思考，設這兩年生產核酸檢測試劑投資的平均增長率為x，那么2021 年用于生產核酸檢測試劑的投資額為多少元？那么2020 年用于生產核酸檢測試劑的投資額為多少元？

2.模型建立

2020 年用于生產核酸檢測試劑的投資額為：40(1 +x)；2021 年用于生產核酸檢測試劑的投資額為：40(1 +x)2；根據2021 年用于生產核酸檢測試劑的投資48.4 萬元，得到方程：40(1 +x)2=48.4。

設初始數據為m，終止數據為n，平均變化率為x，則經過兩年增長或降低后得到方程形式為m(1 +x)2=n或者m(1 -x)2=n。

3.對一元二次方程求解并對倆解進行取舍，回答實際問題

解方程：40(1 +x)2=48.4

得：X1=0.1=10%，X2=-2.1（不合題意，舍去）。

故這兩年生產核酸檢測試劑投資的平均增長率為10%。

方程數學建模學生會根據實際問題中題干利用數學公式進行數學抽象，如上題中：2021 年用于生產核酸檢測試劑的投資額為：40(1 +x)2。實際上，好多學生會錯誤地理解為是2 倍，而不是二次方。在解此類方程可以方程倆邊同除40，再直接開平方，這樣比直接去掛號求解來得簡單易解；最后，根據實際意義，對答案進行檢驗及取舍如上題中平均年增長率為正數所以其中一個答案X2=-2.1 不合題意，舍去。

（三）挖掘教材，培養方法和技巧

應當下教學大綱和課本要求，在“基本知識、基本技術、基本技能”的系統教學環節，教師應確認識純數學和應用數學間的關系，綜合培養數學的建模能力，挖掘教材，強化建模意識。教師深入教材中心并加以鉆研，在教材內涵挖掘上，對相關問題加以提煉，并尋求與實際數學建模及其教材相關的素材。一般情況下，初中應用題與大多與現實生活或具體情境相結合，教師應引導學生從中抽象出數學問題，運用信息收集與整理能力、類比能力、與創新能力等對題干進行分析、解剖，再用數學符號建立方程、不等式與方程、函數與方程等模型表示數學問題，最終找到解決方案。

在求解一元二次方程時，常見的應用題有：增長率問題、行程問題、流感問題、面積問題等。而列方程解應用題的基本步驟包括：讀（讀題）、找（找出題中的已知量、未知量，根據題意找等量關系）、設（設未知數，包括設直接未知數或間接未知數）、列（列一元二次方程方程）、解（解一元二次方程方程）、檢驗（注意解的準確性及是否符合實際意義）；答（題意所要求的答案）等6 環節。

其中，正確找出應用題的等量關系是列一元二次議程應用題的難點所在，筆者認為可以采取如下方式探尋等量關系：首先，要認真閱讀題目，粗讀、精讀相結合，直至讀懂題意；其次，充分理解題目中的有效條件，去除干擾項；再次，要善于發現并利用間接的、潛在的等量關系；最后，利用關鍵語句、公式、定理等尋找已知的數學模型，進行建模，確定解題方案，最終解答。

三、總結

在《新課標》的指導下，一線教師應該慎重考慮如何有效利用現有資源和條件，緊緊圍繞數學建模能力，優化課堂教學手段，提升初中數學課堂中方程應用題教學效率［3］。巧用生活實例，激發學生建模思維；善用多樣教學方式，提升學生建模能力，使其學會運用數學知識解決現實問題［4］。