錨索預應力損失模型及預應力補償時機分析

史克友，吳小萍,2,3，王澤坤

(1.中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075；2.中南大學高速鐵路建造技術國家工程實驗室，湖南長沙，410075；3.倫敦大學學院交通研究中心，英國倫敦，WC1E 6BT)

在修建高速公路、鐵路過程中，需要對沿線開挖的邊坡進行支護，以提高開挖邊坡的穩定性，從而保證道路的運營安全[1-3]。邊坡的支護方法有很多種，常用的邊坡支護結構有擋土墻[4-6]、抗滑樁[7-8]、預應力錨桿[9]和預應力錨索[10-11]，其中，預應力錨索具有強度可靠、施工簡便及經濟實惠等優點，在邊坡支護工程中得到廣泛應用。預應力錨索可以充分發揮自身的強度，將巖體軟弱結構面與穩定巖層聯系在一起，從而改變邊坡巖體原有的應力狀態，提高邊坡的整體穩定性。采用預應力錨索對邊坡進行加固時，錨索的有效預應力是錨索發揮支護作用的前提和保證。但SUNG等[12-14]通過對邊坡錨索的預應力進行長期監測后發現，錨索預應力損失的現象在錨固工程中十分普遍。研究者建立了許多物理模型，通過理論分析對錨索預應力損失的現象進行了研究，如：陳拓等[15]在所建模型中考慮了卸荷因素；徐毅青等[16]在所建模型中考慮了錨索預應力的初期及長期損失；李濤等[17]針對膨脹土層建立了錨索預應力的流變損失模型。這些模型認為錨索的長期預應力損失主要與加固巖土體的蠕變有關，受錨索張拉荷載的長期作用，巖土體發生蠕變變形從而引起錨索回彈收縮，進而使錨索預應力長期損失。這些模型忽略了框格梁在錨固邊坡中所起到的作用，錨索預應力損失模型的建立是以假設巖體均勻受力為基礎，而框格梁正是錨固邊坡中巖體均勻受力的保證，因此，在建立錨索預應力損失的物理模型時不應忽略框格梁所起到的作用。此外，由于錨索預應力損失直接影響著邊坡的支護效果，在實際工程中，施工完成后大多采用2次張拉的方式對錨索的預應力進行后期補償。錨索的2次張拉時機對其預應力的補償效果有直接影響。明確錨索的預應力補償時機，不僅可以保證錨索的預應力補償效果，同時便于現場人員的調度及施工的統籌安排。鑒于此，本文對錨固邊坡中框格梁所起的應力擴散作用進行探討，并基于錨索、框格梁及巖體三者之間的相互作用關系，建立考慮框格梁作用的錨索預應力損失模型；同時，利用所建模型對錨索的預應力補償時機進行研究，以便為錨索加固邊坡的施工及錨索預應力的后期補償提供依據。

1 框格梁對集中應力擴散范圍的影響

錨固邊坡錨索張拉后，可視為在邊坡支護面上各錨索張拉處施加一個集中荷載，錨索在張拉后由錨具鎖定，由于錨具截面積小，錨索張拉處的應力近似為集中應力，若無框格梁作用，則集中應力將直接作用在巖體表面，極易造成巖體破碎及開裂。在含有框格梁的錨固結構中，錨索張拉后的集中應力先作用在框格梁結構上，然后通過框格梁傳遞至巖體表面。這里以有限差分軟件FLAC3D研究框格梁對錨索張拉后集中應力擴散范圍的影響。

1.1 模型建立及參數

這里主要研究框格梁對集中應力擴散范圍的影響，故對所建分析模型進行簡化，僅以法向集中應力的擴散范圍作為研究對象。本文建立2個數值分析模型：一個是沒有框格梁作用的數值分析模型，4個集中荷載P直接作用于巖體表面，荷載P的作用范圍為圖1中紅色區域，作用面積為0.4 m×0.4 m(與框格梁截面積相同)；另一個是含有框格梁的數值分析模型，4個集中荷載P直接作用于框格梁表面。模型尺寸如圖1所示，荷載P以依托工程鄭西(鄭州—西峽)高速EK1+650斷面深路塹邊坡)錨索張拉荷載為準，為400 kN/m。

圖1 數值分析模型Fig.1 Numerical analysis model

模型計算參數如表1所示。巖體參數以依托工程實際參數為準，模型計算時，巖體采用Mohr-Coulomb模型進行模擬，結合依托工程中框格梁的設計資料，框格梁參數中密度(d)、體積模量(K)及剪切模量(G)以C25 混凝土參數為依據賦值，抗拉強度(fy)以HRB335 鋼筋抗拉強度為依據賦值，在框格梁滿足設計強度的情況下，可認為其不會發生剪切破壞，因此，無需對框格梁的內摩擦角(φ)和黏聚力(c)賦值。模型計算時，框格梁采用Elastic模型進行模擬。模型計算前，固定模型底面所有方向節點的速度，固定模型前后面y方向節點的速度，固定模型左右面x方向節點的速度。

表1 數值分析模型參數Table 1 Parameters of numerical analysis model

1.2 計算結果分析

圖2所示為法向荷載集中應力作用下巖體表面(平面坐標z=0)的應力擴散云圖。圖2中，σz為巖體表面的法向應力，其拉應力為正，壓應力為負。從圖2可見：無框格梁作用時(圖2(a))，4個集中荷載P作用位置處有集中壓應力產生，此外，在每2個集中荷載P之間還存在明顯的拉應力區，最大拉應力約為4.4 kPa，可見無框格梁作用時，集中荷載作用點處巖體所受應力比較集中，且遠遠大于巖體表面其他區域的應力；在較大集中應力作用下，荷載作用點處巖體的變形量也比巖體表面其他區域的變形量大，從而在2個集中荷載P之間產生拉伸作用，這種拉伸作用對巖體穩定極為不利，尤其對于巖性較差的風化巖體而言，極易造成巖體表面開裂。從圖2(b)可見：有框格梁作用時，4個集中荷載P先作用在框格梁表面，然后由框格梁將應力傳遞至巖體表面，在框格梁作用下，巖體表面受力相對均勻，這直接減少了表面巖體在較大集中應力下被破壞的隱患。

圖2 巖體表面法向集中應力擴散云圖Fig.2 Nephogram of normal concentrated stress diffusion on surface of rock mass

另外，無框格梁作用時，巖體表面最大壓應力約為482.2 kPa，最小壓應力約為25.0 kPa，兩者比值高達19.29，巖體表面嚴重受力不均勻。在框格梁作用下，巖體表面不僅沒有產生拉應力區域，而且巖體表面最大壓應力僅約為7.9 kPa，壓應力的最大值約為最小值的1.66 倍，巖體表面受力相對均勻。

在錨固邊坡中，各錨索的錨固荷載可視為邊坡支護面1 個集中荷載。通過上述數值分析可知，框格梁在錨固邊坡中起著十分重要的作用，框格梁是坡體表面均勻受力的保障。在實際工程中，后期錨索預應力損失后各錨索的實際錨固荷載并不相同，這樣很容易造成坡體表面不均勻變形，框格梁不僅可以極大降低這種不均勻變形，而且可以增強錨固結構的整體支護效果。因此，在錨固邊坡的受力分析中，不應忽略框格梁的作用。

2 考慮框格梁作用的錨索預應力損失模型

錨索的預應力損失主要由錨索自身的材料特性及巖土體的力學性質決定，因此，錨索預應力損失的計算模型一般通過合理組合錨索和巖土體的計算模型建立[18-19]。耦合蠕變模型建立的前提是假設巖土體均勻受力[20-21]，框格梁是巖體均勻受力的保障，在框格梁作用下，巖土體的實際受力情況更接近于假設條件，因此，錨索預應力損失模型的建立不應忽略框格梁的作用。

2.1 錨索分析模型

在實際工程中，服役狀態下錨固邊坡錨索主要以彈性變形為主，因此，可選用圖3中的胡克模型對錨索進行模擬，該模型的本構關系為

式中：εc為錨固范圍內錨索體的應變；σc為錨固范圍內錨索體的應力；Ec為錨固范圍內錨索體的等效彈性模量。

2.2 巖體分析模型

在應力作用下，巖體具有瞬時應力松弛和彈性變形的特點，同時，在長期應力作用下，巖體還具有黏彈塑性的特征，因此，可選用圖3中的廣義開爾文模型對巖體進行模擬。廣義開爾文模型是在開爾文模型的基礎上發展而來，可以表征各個階段的巖體蠕變。該模型的本構關系為

式中：σn為巖體的應力；εn為巖體的應變；σ′n為應力的一階導數；ε′n為應變的一階導數；ηK為巖體的黏滯系數；EK為巖體的黏彈性模量；EH為巖體的瞬時彈性模量。

2.3 框格梁分析模型

與巖體相比，框格梁為鋼筋混凝土結構，具有很大的剛度，并且框格梁的橫截面高度遠遠小于巖層的厚度，在應力作用下可以不考慮框格梁的瞬時彈性應變，因此，可選用圖3中的開爾文模型對框格梁進行模擬。該模型的本構關系為

圖3 各部分分析模型Fig.3 Analysis model of each part

式中：σL為框格梁的應力；εL為框格梁的應變；ε′L為應變的一階導數；ηL為框格梁的黏滯系數；EL為框格梁的黏彈性模量。由于框格梁的橫截面高度遠遠小于巖層的厚度，故EL可用框格梁的彈性模量替代。

2.4 錨索預應力損失模型建立

錨索、框格梁及巖體之間的相互作用關系如圖4所示。在實際施工過程中，將錨索安裝于鉆孔內，然后通過向鉆孔內注漿的方式將錨索結構與巖體結合在一起，因此，可認為錨索的回縮變形和巖體的蠕變變形是同步進行的。由于錨索結構和框格梁之間沒有漿液的黏結作用，可認為錨索的回縮變形和框格梁的蠕變變形是相對獨立的。

結合圖4中錨索、框格梁及巖體之間的位置及三者之間的相互作用關系，建立如圖5所示的錨索預應力損失模型。該模型是由Part 1和Part 2并聯，然后與Part 3串聯建立而成。在所建模型中，Part 1為廣義開爾文模型，用來模擬巖體；Part 2為胡克模型，用來模擬錨索；Part 2為開爾文模型，用來模擬框格梁。

圖4 錨索框格梁支護邊坡示意圖Fig.4 Schematic diagram of slope supported by anchor cables and frame beam

2.5 模型計算公式推導

由圖5所示錨索預應力損失模型可知，錨索、框格梁及巖體之間的應力-應變關系應滿足以下方程：

式中：σ為預應力損失模型的總應力；ε為預應力損失模型的總應變；σL和εL分別為框格梁的應力和應變；σN和εN分別為巖體的應力和應變；σC和εC分別為錨索體的應力和應變。

對式(4)和式(5)進行轉換可得：

將式(6)和式(7)代入式(3)并進行換算，可求得所建預應力損失計算模型的本構方程：

在錨索預應力損失的初始時刻(即t=0時)，假設預應力損失模型的初始應力和初始應變分別為σ0和ε0，可以將式(8)轉換成預應力損失模型的應力松弛方程：

對式(12)進行微分求解得

當開始在巖體上施加應力時，可認為巖體主要發生彈性變形，因此，所建模型的初始應變為ε0=σ0/(EC+EH) +σ0/EL。考慮初始條件t=0時，σ=σ0，結合式(12)即可求出系數C1：

通過上述推導的公式，在初始應變ε0已知的條件下即可對錨索預應力的損失情況進行計算分析。

2.6 模型驗證

本文結合依托工程(鄭西高速)的施工，分別對EK1+640和EK1+650這2個斷面的深路塹邊坡錨索預應力進行監測，并同時進行相應的現場蠕變試驗。這里以EK1+640 斷面深路塹邊坡為代表，取其中2 根錨索(編號為A1 和A2)的預應力監測結果對模型進行驗證。表2所示為模型計算參數(其中，EC由工程所用鋼絞線的實際參數換算得到；EL為框格梁所用C25 混凝土的實際參數；EH，EK和ηK為結合現場巖體的蠕變試驗結果，通過參數反演得到)。

表2 模型計算參數Table 2 Model calculation parameters

本文模型是在已有模型的基礎上增添框格梁單元建立的，為了進一步對模型的準確性進行驗證，除現場監測結果外，另外還與廣義開爾文模型、GK-H模型[22]的計算結果進行對比分析，對比結果如圖6所示。從圖6可見：各錨索在張拉完成后其預應力均會有不同程度的損失，在監測初期，錨索預應力損失速率最快，同時預應力損失占比也最大；在監測后期，錨索預應力的變化逐漸趨于緩慢。由于受邊坡開挖等施工擾動的影響，在實際工程中，邊坡錨索的預應力會出現波動變化。從圖6中的模型計算曲線(新建模型、廣義開爾文模型、GK-H 模型的計算曲線)可知，鑒于理論分析中無法考慮施工擾動帶來的影響，因此模型計算結果無法體現錨索預應力的波動變化現象。

圖6 模型驗證Fig.6 Model validation

本文新建模型的計算結果與現場監測結果的變化趨勢幾乎一致。由于廣義開爾文模型僅考慮了巖體的蠕變作用，而GK-H模型僅考慮了錨索和巖體的耦合作用(圖5中Part 1 和Part 2 部分)，這2個模型都未考慮框格梁在錨固結構中的作用，造成廣義開爾文模型及GK-H模型的計算結果比現場監測結果偏低。經綜合比較，考慮框格梁的作用后，新建模型的精度更高，不僅可以對錨索預應力的損失進行計算，而且可以對錨索預應力達到穩定的時間進行準確預測。

3 錨索預應力補償時機

在邊坡錨固工程中，錨索張拉完成后預應力均會出現不同程度的損失，施工完成一段時間后對錨索進行2次張拉可以有效彌補由巖體蠕變引起的預應力損失，錨索的2次張拉時間直接影響著錨索的預應力補償效果，因此，對錨索預應力的補償時間進行研究具有十分重要的工程意義。

根據前面分析，在初始應變ε0已知條件下即可利用式(13)對錨索的預應力進行計算。當施工完成后經過時間t時對錨索進行2 次張拉，圖5中所建模型的初始條件(初始應變)已發生改變，變化后的初始應變為：

式中：ε′0為時間t時對應的初始應變；σt為時間t時損失模型的總應力；為2 次張拉后損失模型的總應力；T為錨索預定2次張拉后的荷載；AC為錨索體的等效截面積。

同樣以鄭西高速EK1+640 斷面深路塹邊坡四根錨索(編號A1～A4)為背景進行分析。由圖6可知各錨索預應力趨于穩定的時間約為30 d，因此，可分別取施工完成后t為5，10，20 和30 d 為時間節點對錨索進行2次張拉計算，探討各時間節點下各錨索的預應力補償效果。

圖7所示為不同補償時機時錨索A1～A4 的預應力變化曲線。從圖7可以看到：雖然進行2次張拉后各錨索仍然伴隨有預應力損失現象，但各錨索的預應力損失量均小于原損失量，且2次張拉時間越晚，各錨索的預應力損失量越小。其原因是錨索的長期損失與錨固體各部分的蠕變有關，錨索作用時間越長，錨固體各部分的蠕變量越小，因此，2次張拉時間越晚，各錨索的預應力損失程度也越小。

圖7 不同補償時機時各錨索預應力變化曲線Fig.7 Variation curves of prestress force of each anchor cable at different compensation time

對單個錨索進行單獨分析可以發現(以錨索A1為例)，以5，10，20 和30 d 為時間節點對錨索A1進行2 次張拉后，其預應力趨于穩定時分別為27.76，28.50，29.18 和29.41 MPa，相鄰兩者之間的差值分別為0.74，0.68和0.23 MPa。可見，雖然從理論上講，2 次張拉時間越晚，錨索2 次張拉后的預應力穩定值越大，但施工完成10 d 和30 d 后對錨索A1 進行2 次張拉，其預應力穩定值相差并不是很大，因此，在施工完成20 d 的各個時間點對錨索進行2 次張拉均可達到有效的預應力補償效果。

在多錨支護邊坡中，各錨索預應力的損失量不盡相同，對不同損失量的各錨索進行2 次張拉時，其預應力補償效果也會有所區別。這里引入預應力補償比(即2 次張拉后錨索預應力穩定值與其原預應力穩定值之比)，表3所示為不同張拉時機時各錨索預應力的穩定值。以t=30 d時的結果為例進行分析，錨索A1～A4 的原預應力穩定值分別為25.550，25.750，25.160 和25.130 MPa，預應力穩定值越小表示錨索預應力的損失量越大。當t=30 d 時，對錨索A1～A4 進行2 次張拉，錨索A1～A4 的預應力穩定值分別為29.410，29.480，29.440和29.430 MPa，預應力補償比分別為1.151，1.144，1.170 和1.171，表明對預應力損失量不同的錨索進行2次張拉時，錨索原損失量越大，其預應力補償比也越大，預應力補償效果越好。

表3 不同補償時機時各錨索預應力穩定值Table 3 Stable value of prestress force of each anchor cable at different compensation time

4 結論

1)在法向集中荷載作用下，若無框格梁結構，則荷載直接作用于巖體表面，巖體表面不僅會出現明顯的拉應力區，且壓應力的最大值約為最小值的19.3 倍，巖體表面嚴重受力不均勻；而當有框格梁結構時，巖體表面不僅沒有拉應力區域產生，且壓應力的最大值僅為最小值的1.66 倍。可見，框格梁是錨固邊坡巖體均勻受力的保障，在錨固邊坡的受力分析中，不應忽略框格梁的作用。

2)鑒于錨索、框格梁及巖體之間的相互作用關系，建立了錨索預應力損失模型，并驗證了所建模型的準確性。

3)從理論上講，2 次張拉時間越晚，錨索2 次張拉后的預應力穩定值越大，但在施工完成20 d后的各個時間點對錨索進行2次張拉，其預應力穩定值相差并不大，可認為在施工完成20 d 后對錨索進行2次張拉均可達到理想的預應力補償效果。

4)在多錨支護邊坡中，各錨索的預應力損失情況并不一樣，錨索的2次張拉效果也不相同。錨索的原預應力損失量越大。2次張拉時，其預應力補償效果越明顯。