一種運(yùn)載火箭自適應(yīng)增廣控制器設(shè)計(jì)方法

桂 亮 佘宇琛 胡存明 丁寰毓

上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109

0 引 言

運(yùn)載火箭的控制器設(shè)計(jì)是研制過程中非常重要的環(huán)節(jié)，直接關(guān)系到火箭的穩(wěn)定和飛行的成敗。在傳統(tǒng)運(yùn)載火箭研制任務(wù)中，控制系統(tǒng)普遍采用PD控制器加校正網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)方式[1]，該方法在過去幾十年的工程實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用，表現(xiàn)出了良好的可靠性和工程適應(yīng)能力。但是，PD控制器的設(shè)計(jì)往往對運(yùn)載火箭的動力學(xué)模型精度以及飛行環(huán)境有著較為嚴(yán)苛的要求。隨著運(yùn)載火箭技術(shù)的發(fā)展，其研制流程不斷優(yōu)化，低成本商業(yè)發(fā)射、快速響應(yīng)發(fā)射等任務(wù)需求逐年增加。出于成本和技術(shù)上的考慮，未來的運(yùn)載火箭可能略過模態(tài)試驗(yàn)等研制流程，并且還要具備不同發(fā)射場、不同氣象條件、不同彈道的冗余發(fā)射能力[2]。以上這些改進(jìn)必然導(dǎo)致火箭的動力學(xué)模型偏差增大，飛行環(huán)節(jié)復(fù)雜等不利結(jié)果，從而對控制系統(tǒng)的魯棒性提出了更高的要求。在此必然趨勢之下，傳統(tǒng)的PD控制器與校正網(wǎng)絡(luò)的組合將難以適應(yīng)未來的發(fā)射任務(wù)，研制更先進(jìn)控制器的需求日益緊迫。

近年來學(xué)者們就運(yùn)載火箭先進(jìn)控制器設(shè)計(jì)的問題展開了深入的研究，提出了多種解決方案。主要的思路集中在對現(xiàn)有增益預(yù)置法的改進(jìn)、針對先進(jìn)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制方案設(shè)計(jì)和變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)3個(gè)方面。首先，增益預(yù)置法本質(zhì)上可以看成一個(gè)多學(xué)科建模與尋優(yōu)設(shè)計(jì)問題[3]。因此對此種方法改進(jìn)的主要思路包括利用T-S模糊理論提高設(shè)計(jì)結(jié)果的魯棒性[4]、利用進(jìn)化遺傳算法[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法提高尋優(yōu)效率等[6]。其次，在先進(jìn)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制方案設(shè)計(jì)方面，現(xiàn)階段研究主要體現(xiàn)在考慮復(fù)雜伺服機(jī)構(gòu)特性的搖擺優(yōu)化控制[7]、基于先進(jìn)角度傳感器的主動減載技術(shù)[8]等。最后，在變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)方面，其具體表現(xiàn)為自適應(yīng)增廣控制[9]、L1自適應(yīng)補(bǔ)償控制[10]以及滑模便結(jié)構(gòu)控制[11]等。可以看出，改進(jìn)增益預(yù)置設(shè)計(jì)算法的難度較大、涉及學(xué)科眾多且對控制系統(tǒng)效能提升有限；采用先進(jìn)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的思路對執(zhí)行機(jī)構(gòu)單機(jī)、硬件環(huán)境要求較高；而先進(jìn)控制器設(shè)計(jì)則更聚焦于控制理論本身，在現(xiàn)有任務(wù)環(huán)境下通過引入更先進(jìn)的控制算法達(dá)到更好的控制效果。因此，本文的討論也將聚焦于先進(jìn)控制器設(shè)計(jì)層面。

自適應(yīng)增廣控制(adaptive augmentation control，AAC)是一種較為經(jīng)典的自適應(yīng)控制方法。在運(yùn)載火箭控制領(lǐng)域，NASA在2008年前后進(jìn)行“星座”計(jì)劃論證時(shí)，對基于AAC的Arex I重型運(yùn)載火箭控制技術(shù)進(jìn)行了全面深入的研究。雖然“星座”計(jì)劃最終下馬，但是為該計(jì)劃論證的重型運(yùn)載火箭項(xiàng)目得以保留，并轉(zhuǎn)為今天的太空發(fā)射系統(tǒng)(Space Launch System, SLS)項(xiàng)目。而AAC控制器也將被應(yīng)用于該型火箭進(jìn)行飛行驗(yàn)證。在現(xiàn)階段的設(shè)計(jì)中，AAC控制器主要由參考模型、頻譜阻尼器和回歸項(xiàng)3部分組成[10]。控制系統(tǒng)在飛行過程中，根據(jù)箭體彈性、剛體等特性，通過對上述3部分求加權(quán)平均數(shù)，最終決定對當(dāng)前控制器的帶寬進(jìn)行增強(qiáng)或者減弱[12]。其中，頻譜阻尼器暫時(shí)無法從Lyapunov穩(wěn)定的角度對其進(jìn)行證明，這也為控制系統(tǒng)的安全帶來隱患。另外，由于AAC控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)眾多。而在控制器結(jié)構(gòu)確定的情況下，不同的參數(shù)選擇也會對系統(tǒng)的安全穩(wěn)定產(chǎn)生決定性的影響[13]。在現(xiàn)階段的研究中，很少有學(xué)者從工程實(shí)踐的角度出發(fā)，對AAC控制器的全套控制參數(shù)進(jìn)行梳理，并系統(tǒng)地給出每一個(gè)參數(shù)的設(shè)計(jì)方法。為此，本文將聚焦于現(xiàn)階段AAC控制器研究的不足，嘗試在假定PD控制器穩(wěn)定的前提下，證明AAC控制器的引入不會破壞PD閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；并針對AAC的眾多控制參數(shù)，結(jié)合工程實(shí)際需求給出一套AAC控制器的參數(shù)設(shè)計(jì)方法。

本文的論述主要分為以下幾個(gè)部分：第1章主要聚焦于運(yùn)載火箭動力學(xué)分析，證明AAC控制器的引入不會破壞PD閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；第2章給出AAC控制器的設(shè)計(jì)流程和參數(shù)計(jì)算方法；第3章通過數(shù)學(xué)仿真的方式驗(yàn)證本文提出的參數(shù)計(jì)算方法的有效性；第4章給出結(jié)論并對未來工作進(jìn)行展望。

1 運(yùn)載火箭動力學(xué)模型與穩(wěn)定性分析

運(yùn)載火箭本身是一個(gè)復(fù)雜的非線性動力學(xué)系統(tǒng)，在控制器設(shè)計(jì)過程中，一般將其姿態(tài)動力學(xué)簡化為一個(gè)近似的偏量動力學(xué)模型，其基本形式可以在文獻(xiàn)[14]中找到。該模型為一個(gè)小偏量線性動力學(xué)方程組，為了研究方便，將其進(jìn)一步寫成如下的矩陣形式：

(1)

其中，X為火箭狀態(tài)向量，包括箭體俯仰角、角速率、彈性模態(tài)廣義位移、液體晃動位移等；A,B分別為n×n,n×m矩陣，其中n為火箭狀態(tài)量個(gè)數(shù)，m為發(fā)動機(jī)個(gè)數(shù)。u為控制輸入，即各個(gè)發(fā)動機(jī)的擺動角度。值得注意的是文獻(xiàn)[14]中的動力學(xué)模型以俯仰方向?yàn)槔话氵\(yùn)載火箭成軸對稱狀態(tài)，因此俯仰偏航動力學(xué)模型的形式基本一致。而滾動通道一般控制能力較強(qiáng)且剛度較高，因此一般采用近似剛體模型對其進(jìn)行描述。本文的討論主要聚焦與俯仰、偏航通道中AAC控制器的設(shè)計(jì)，因此暫不考慮滾動通道的動力學(xué)模型。在上述簡化動力學(xué)模型的基礎(chǔ)之上，傳統(tǒng)的PD加校正網(wǎng)絡(luò)控制器所獲得的閉環(huán)動力學(xué)系統(tǒng)可以寫成：

(2)

其中，Anet,Bnet,Cnet,Dnet為校正網(wǎng)絡(luò)的時(shí)域模型，k為PD控制器增益，以上參數(shù)均可人為設(shè)計(jì)。上述動力學(xué)系統(tǒng)可以改寫成矩陣形式：

(3)

其中：

(4)

在一般情況下，通過合理的裕度分析，可以尋找到一組控制參數(shù)，使得箭體穩(wěn)定。該結(jié)論通過Lyapunov穩(wěn)定性表述可以寫成：

(5)

由于PD加校正網(wǎng)絡(luò)控制器能夠使箭體穩(wěn)定，因此必然有Lyapunov導(dǎo)數(shù)小于0：

(6)

(7)

其中，εmax為當(dāng)前選定的k所對應(yīng)的集合K邊界，即k能接受的最大偏差。

圖1 帶有AAC控制器的運(yùn)載火箭框圖

(8)

其中，kmax為ka限幅值，α,a,β為加權(quán)系數(shù)，k0為定值，此處取0.7。er為參考模型與真實(shí)箭體之間的姿態(tài)角偏差。從上述公式可以看出， AAC控制器是由3個(gè)部分共同構(gòu)成的微分方程的解，將這3個(gè)部分分別命名為：參考誤差項(xiàng)、頻譜阻尼項(xiàng)和回歸項(xiàng)。下面對上述公式的3個(gè)部分分別進(jìn)行論述。

1.1 回歸項(xiàng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

將kT表達(dá)式集成進(jìn)入式(3)，則有：

(9)

通過式(6)的結(jié)論可知，由于k>0，當(dāng)|kT-1|≤εmax，則|k·kT-k|=k·|kT-1|≤k·εmax，因此根據(jù)式(7)可知：

(10)

在以上結(jié)論的基礎(chǔ)上，僅考慮回歸項(xiàng)的情況下，取Lyapunov函數(shù)V1=V+0.5kTΛk，其導(dǎo)數(shù)為：

(11)

其中Λ為正定系數(shù)矩陣，可以根據(jù)實(shí)際情況選取。

由于已知Λ·β>0，因此必然有(X′TB′X-Λβ)≤X′TB′X<0，則：

(12)

至此，可以證明在k·kT=k′∈K的條件下，回歸項(xiàng)不會影響PD閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1.2 參考誤差項(xiàng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

參考誤差項(xiàng)的穩(wěn)定性證明可以借鑒傳統(tǒng)的模型基準(zhǔn)自適應(yīng)控制或其他自適應(yīng)控制方法[9]。首先，定義參考模型為：

(13)

其中，Xm為參考模型狀態(tài)量，uc為姿態(tài)程序角。Am和Bm為n×n,n×m矩陣。注意到Am為負(fù)定矩陣，uc為開環(huán)輸入信號，用于求解微分方程特解，因此上述系統(tǒng)必然穩(wěn)定。若參考模型延遲很小、動態(tài)特性良好，應(yīng)有uc≈Xm。er表達(dá)式為：

(14)

(15)

在不加入AAC控制器的情況下，令k∈K，此時(shí)k為定值，因此kTΛk導(dǎo)數(shù)為0，則根據(jù)式(6)的結(jié)論有：

(16)

對運(yùn)載火箭而言，程序角一般大于等于0，因此uc≈Xm≥0。可以看出，εmax和δB可正可負(fù)。為了確保上式成立，則令εmax=|εmax|sign(δB)。因此上式可以寫成：

(17)

(18)

取Λ=|δB|kmax/a，且已知0<(kmax-ka)≤|εmax|，則必然有：

(19)

至此，可以證明參考誤差項(xiàng)不會影響PD閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1.3 頻譜阻尼項(xiàng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

針對AAC控制器的頻譜阻尼項(xiàng)，可以采用1.1節(jié)中類似的證明方法分析其對PD控制器穩(wěn)定性的影響。根據(jù)式(6)～(7)，有：

(20)

取Lyapunov方程V3=V+0.5kTΛk。根據(jù)框圖1以及濾波器的基本工作原理，可以得知ys=DT(o2)≥0，其中DT(·)為低通濾波器算子，o為高通濾波器的輸出信號。所以有：

(21)

至此，已經(jīng)分別證明在式(7)成立的前提下，AAC控制器的3個(gè)部分不會破壞閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。該結(jié)論是建立在PD閉環(huán)控制器本身未超出裕度范圍k∈K的前提下的。因此，除了AAC控制器的公式以外，對kT的上下限限幅的確定同樣至關(guān)重要，應(yīng)該確保|kT-1|≤εmax的基本條件[11]。

2 自適應(yīng)增廣控制器設(shè)計(jì)

AAC控制器參數(shù)眾多，且參數(shù)之間彼此存在耦合關(guān)系。這些參數(shù)可以分為4大類，歸納為如表1所示。下面將分別從以下4大類進(jìn)行論述。

表1 AAC控制器參數(shù)匯總

2.1 基本參數(shù)設(shè)計(jì)

基本參數(shù)主要包括kT的上下限限幅以及用以計(jì)算ka積分所需的參數(shù)。通過第1章的結(jié)論，可以得知kT的限幅必須滿足|kT-1|≤εmax。因此kt_min,kt_max的值可以定為：

kt_min=1-|εmax|,kt_max=1+|εmax|

(22)

由此可見，整個(gè)過程中AAC控制器都將在PD控制器裕度范圍內(nèi)運(yùn)行，以確保系統(tǒng)安全。

2.2 參考模型參數(shù)設(shè)計(jì)

參考模型的設(shè)計(jì)需要借助運(yùn)載火箭動力學(xué)模型。參考模型可以采用剛體運(yùn)載火箭姿態(tài)動力學(xué)傳遞函數(shù)[15]：

(23)

對于kmax，則可以基于2.1節(jié)中的結(jié)論，用如下公式得到：

kmax=kt_max-k0=kt_max-kt_min

(24)

結(jié)合實(shí)際任務(wù)需求選擇權(quán)重系數(shù)a。

2.3 頻譜阻尼參數(shù)設(shè)計(jì)

最后，頻譜阻尼項(xiàng)權(quán)重系數(shù)α的計(jì)算需要利用數(shù)量級計(jì)算的方式進(jìn)行制定。其基本思路為:當(dāng)ys達(dá)到一定數(shù)量級時(shí)，Qk≥0應(yīng)該令頻譜阻尼輸出約等于參考模型輸出，從而降低kT，抑制振動。基于以上思路，α的值可以通過式(25)獲得。

(25)

其中，S(·)為數(shù)量級計(jì)算算子，例如S(6.5·10-3)=10-3。

2.4 回歸項(xiàng)參數(shù)設(shè)計(jì)

回歸項(xiàng)權(quán)重系數(shù)β的確定同樣需要采用數(shù)量級計(jì)算的思想。由于已知kT在1附近變化，因此kT-1必然在10-1數(shù)量級，為了讓回歸項(xiàng)起到穩(wěn)定kT變化的作用，需要讓它的輸出始終與前兩項(xiàng)保持同一數(shù)量級，因此有：

(26)

3 仿真校驗(yàn)

3.1 彈性參數(shù)大偏差仿真

為了驗(yàn)證AAC控制器對彈性參數(shù)偏差的應(yīng)對能力，將采用文獻(xiàn)[15]所述的動力學(xué)參數(shù)，并根據(jù)國外文獻(xiàn)中公開的參數(shù)拉偏方式，將火箭的彈性相關(guān)參數(shù)拉偏40%。用PD控制器和AAC控制器嘗試對該系統(tǒng)進(jìn)行控制，得到的控制結(jié)果如圖2～4所示。從仿真結(jié)果可以看出：此種工況下，傳統(tǒng)PD控制器將無法有效控制箭體。但是，AAC控制器可以有效抑制彈性振動，并穩(wěn)定箭體姿態(tài)，體現(xiàn)了AAC控制器的優(yōu)越性。

圖2 彈性參數(shù)大偏差下俯仰角偏差曲線

圖3 彈性參數(shù)大偏差下偏航角曲線

圖4 彈性參數(shù)大偏差下kt變化曲線

3.2 剛體參數(shù)大偏差仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證AAC控制器對剛體參數(shù)偏差的適應(yīng)性，將火箭的剛體相關(guān)參數(shù)拉偏45%。此種工況下PD控制器和AAC控制器的控制對比結(jié)果如圖5～7所示。從圖中可以看出，由于剛體偏差很大，導(dǎo)致控制能力不足，因此傳統(tǒng)PD控制器在外界干擾下將直接發(fā)散。而AAC控制器卻可以在此種惡劣情況下實(shí)現(xiàn)對火箭的穩(wěn)定控制。

圖5 剛體參數(shù)大偏差下俯仰角曲線

圖6 剛體參數(shù)大偏差下偏航角曲線

圖7 剛體參數(shù)大偏差下kt曲線

4 結(jié) 論

本文對AAC控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并提出了一種AAC控制器參數(shù)設(shè)計(jì)流程。基于數(shù)學(xué)討論和仿真結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：1)在充分分析PD控制器穩(wěn)定裕度的前提下，加入AAC控制器能達(dá)到提高魯棒性且不破壞原有系統(tǒng)穩(wěn)定的效果。2)AAC控制器參數(shù)較多，本文提出的參數(shù)設(shè)計(jì)流程可以有效提高參數(shù)設(shè)計(jì)效率。仿真結(jié)果證明AAC控制器在剛體穩(wěn)定和彈性抑制2個(gè)方面都具備更高的適應(yīng)能力，有良好的工程應(yīng)用前景。