基于復(fù)合陷波器的磁懸浮飛輪微振動力抑制*

曾 塬 劉 昆 魏靜波

中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣州 510275

0 引言

航天器活動部件中飛輪是姿態(tài)控制的常用動力部件，也是航天器微振動的主要產(chǎn)生源，微振動會對航天器的成像質(zhì)量和指向精度等關(guān)鍵性能產(chǎn)生較大影響，磁懸浮飛輪因具有無摩擦、阻尼可調(diào)以及可進行主動振動控制等優(yōu)點越來越受到學(xué)者的關(guān)注，國內(nèi)外學(xué)者對飛輪的振動機理及動力學(xué)建模進行了研究并取得了一系列成果[1-4]。

磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子在加工制造時可以進行動平衡調(diào)整，但是不平衡質(zhì)量仍然無法全部消除，因此飛輪轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時會產(chǎn)生不平衡振動，同時由于加工及材質(zhì)不均的影響，磁懸浮軸承中位移傳感器測量時會產(chǎn)生同頻及倍頻振動[5]。劉彬等[6]提出一種開環(huán)軸承力補償?shù)拇艖腋★w輪不平衡振動控制方法，該方法通過補償位移剛度力達到控制不平衡振動力。魏彤等[7]提出一種位移剛度力超前前饋補償?shù)目刂品椒?，消除同頻電流后，再采用前饋對同頻位移剛度力進行補償；以上都是采用消除同頻電流補償位移剛度力進行振動力的控制，而直接以振動力或者力矩為控制目標(biāo)的研究較少。崔培玲[8]等通過相移陷波器在全頻內(nèi)對不平衡振動產(chǎn)生的振動力進行了抑制研究。劉強[9]等將不平衡振動產(chǎn)生的約束力和慣性軸與幾何軸不重合引起的離心力進行前饋，有效抑制了不平衡振動產(chǎn)生的徑向振動。彭聰?shù)萚10]提出一種二階陷波器控制方法，即在高低不同速度時采用陷波器交叉進行同頻振動控制，取得較好的同頻電流振動力控制效果，并對頻率變化的同頻振動力的抑制進行了研究[11]，但研究對象僅為質(zhì)量不平衡產(chǎn)生的同頻振動力，沒有同時考慮除位移傳感器等干擾產(chǎn)生的倍頻振動力。

崔培玲等[2,12]主要采用重復(fù)控制方法，對磁懸浮飛輪系統(tǒng)同頻及倍頻電流進行了控制研究。通過電流控制了磁懸浮飛輪的微振動，沒有抑制位移剛度力，且采用的重復(fù)控制方法因計算量大，收斂速度受到一定限制。

本文提出一種復(fù)合陷波器控制方法，通過直接構(gòu)造同頻振動力，控制由質(zhì)量不平衡及傳感器干擾產(chǎn)生的同頻振動力，同時為提高控制精度，基于級聯(lián)陷波器對傳感器干擾產(chǎn)生的倍頻電磁力進行抑制，達到抑制不平衡及傳感器干擾產(chǎn)生振動力的目的。仿真研究驗證了該復(fù)合控制方法的有效性。

1 磁懸浮飛輪干擾系統(tǒng)建模及分析

磁懸浮飛輪模型如圖1所示，該飛輪為兩自由度主動磁軸承，圖中三自由度通過永磁體磁力進行被動穩(wěn)定，飛輪轉(zhuǎn)子繞飛輪定子旋轉(zhuǎn)，本文主要研究兩徑向自由度的主動控制[13]。

圖1 兩自由度主動磁懸浮飛輪

根據(jù)牛頓第二定律，兩徑向自由度運動方程可表示為：

(1)

其中m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，F(xiàn)cx為x方向合力，F(xiàn)cy為y方向合力。考慮到x方向和y方向的對稱性，為研究方便，以x方向為例進行分析；對磁懸浮系統(tǒng)中電磁力在平衡點進行線性化，并考慮不平衡質(zhì)量振動時，動力學(xué)方向如下：

(2)

其中，Kh和Ki分別表示位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)，其中fd為不平衡力，Ω為轉(zhuǎn)速，e為不平衡參數(shù)，φ為初始角，則fd可表示為

fd=meΩ2cos(Ω+φ)

(3)

而位移傳感器干擾可以表示如下[14]

(4)

其中n為諧波階次，esr為傳感器干擾系數(shù)，θ為初始角。

根據(jù)動力學(xué)方程系統(tǒng)的控制框圖如圖2所示

圖2 x方向控制框圖

根據(jù)控制框圖，分別以Fd(s)和Xsr(s)為輸入，F(xiàn)(s)為輸出求出其傳遞函數(shù)為：

F(s)=Gd(s)·Fd(s)+Gsr(s)·Xsr(s)=
S(s)[(KhGp(s)-KadKsKiGw(s)Gc(s)Gp(s))Fd-
KadKiKsGw(s)Gc(s)Xsr1(s)]-
S(s)KadKiKsGw(s)Gc(s)Xsr2(s)

(5)

則振動力可以表示為同頻量Fs(s)和倍頻量Fm(s)之和

F(s)=Fs(s)+Fm(s)

(6)

Fs(s)=S(s)[(KhGp(s)-
KadKsKiGw(s)Gc(s)Gp(s))Fd-
KadKiKsGw(s)Gc(s)Xsr1(s)]

(7)

Fm(s)=-S(s)KadKiKsGw(s)Gc(s)Xsr2(s)

(8)

其中S(s)為

(9)

Xsr1和Xsr2分別表示傳感器干擾的同頻和倍頻量，通過式(7)和式(8)可知，不平衡質(zhì)量只產(chǎn)生同頻振動力，即電流剛度力和位移剛度力，而位移傳感器既可以產(chǎn)生同頻力又可以產(chǎn)生倍頻力，其主要通過傳感器反饋進入系統(tǒng)，進入控制器產(chǎn)生電流剛度力。

2 磁懸浮飛輪干擾系統(tǒng)建模及分析

2.1 基于復(fù)合陷波器的抑制原理

為抑制同頻力，以同頻力為輸入，通過陷波器將同頻振動力負反饋至控制器，達到抑制同頻振動力的目的，同時設(shè)計級聯(lián)陷波器串聯(lián)在控制器處，從而抑制傳感器干擾產(chǎn)生的倍頻電流剛度振動力，進一步抑制微振動力，提高抑制精度；復(fù)合陷波器控制框圖如圖3虛線所示。

圖3 復(fù)合陷波器控制框圖

其中，D(s)為同頻等效干擾力，可表示為

D(s)=Fd(s)-Xer1KadKsKiGc(s)Gw(s)/
[(1-Gp(s)Kh]

Nf(s)為同頻濾波器，將構(gòu)造的電磁力同頻量進行濾波增益ε1倍后負反饋至控制器，構(gòu)成同頻陷波器[15]，其傳遞函數(shù)可表示為

(10)

其中TR和TJ為加權(quán)矩陣參數(shù)，用來確保閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

控制框圖中Gn(s)為級聯(lián)陷波器，其由n個倍頻濾波器負反饋至回路后進行串聯(lián)連接，從而進行多頻電流電磁力的抑制。

Gn(s)的傳遞函數(shù)可表示為

(11)

其中TR2TJ2…TRnTJn分別表示各階次選擇器的加權(quán)矩陣參數(shù)，用來確保閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

根據(jù)控制框圖，記GB(s)=Gc(s)Gw(s)Ki，分別以D(s)和Xsr2(s)中為輸入，F(xiàn)(s)為輸出求出其傳遞函數(shù)為：

(12)

根據(jù)式(10)可知

以Xsr2(s)為輸入，F(xiàn)(s)為輸出求出其傳遞函數(shù)為：

(13)

根據(jù)式(11)可知:

(14)

通過上述分析可知，復(fù)合陷波器可以完全抑制不平衡及傳感器干擾產(chǎn)生的微振動力。

2.2 復(fù)合陷波器的設(shè)計及分析

根據(jù)實驗室飛輪的振動頻譜分析結(jié)果可知，該實驗對象主要存在同頻及5倍頻的振動，因此在下述復(fù)合陷波器的設(shè)計中，Gn(s)以5倍頻為例進行設(shè)計及分析。

2.2.1 多頻陷波器Gn(s)的設(shè)計

為設(shè)計方便，采取分步法進行復(fù)合陷波器的設(shè)計，即設(shè)計Gn(s)時暫不考慮同頻陷波Nf(s)，加入Gn(s)陷波器后，則系統(tǒng)以倍頻量Xsr2(s)為輸入，F(xiàn)(s)為輸出，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(15)

上式可改寫為

(16)

其中

(17)

(18)

(19)

由上式可知，當(dāng)ε5=0時，s=±5Ωj為該特征方程的根，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，其特征根分布在左半平面，以ε5為自變量對s求偏導(dǎo)得

(20)

其幅角滿足如下條件，則可以使其特征根分布在左半平面

(21)

即TR5,TJ5滿足如下不等式時系統(tǒng)穩(wěn)定：

(22)

2.2.2 同頻陷波器Nf的設(shè)計

完成Gn(s)的設(shè)計后，進行同頻陷波器Nf的設(shè)計，同理將式(12)改寫，得到系統(tǒng)的穩(wěn)定所需特征方程為

s2+Ω2+ε(TRs-ΩTJ)S′(s)=0

(23)

(24)

S′(s)為前述設(shè)計所得包含Gn(s)的穩(wěn)定系統(tǒng)。

同理根據(jù)根軌跡出射角要求，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，TR和TJ須滿足

(25)

3 仿真校驗

為校驗上述控制方法的抑制效果，采用MATLAB/Simulink進行仿真分析研究，飛輪磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的仿真參數(shù)見表1。

表1 磁懸浮飛輪參數(shù)

根據(jù)表1中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)繪制式(18)的相頻特征曲線如圖4所示，為使得控制系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足式(22)，根據(jù)圖中給出的不同轉(zhuǎn)速時的相位角變化，為使系統(tǒng)在全頻內(nèi)保持穩(wěn)定，設(shè)定ε5=2,T5R和T5J取值如下

圖4 式(18)相頻特征曲線

(26)

式(24)中S′(s)含有Gn(s)，分別繪制轉(zhuǎn)速Ω=100rad/s，Ω=500rad/s時S′(s)的幅相頻特征曲線如圖5所示，由其幅頻特征曲線可知，由于Gn(s)的存在，在5倍轉(zhuǎn)速處幅值具有較好的抑制值，其相位角的范圍為(-80°，180°)，為使系統(tǒng)穩(wěn)定,需滿足式(25)，TR和TJ可取如下值:

圖5 不同轉(zhuǎn)速下式(24)幅頻相頻特征曲線

(27)

考慮質(zhì)量不平衡及傳感器干擾，分別在轉(zhuǎn)速209rad/s和628rad/s下進行仿真研究。當(dāng)采用TR=-200，TJ=-10時，轉(zhuǎn)速為628rad/s時系統(tǒng)失穩(wěn)，說明此時需改變參數(shù)補償其相角；而采用TR=100，TJ=-10后系統(tǒng)穩(wěn)定，補償后仿真系統(tǒng)穩(wěn)定。仿真結(jié)果分別如圖6和圖7所示。按照式(26)參數(shù)進行仿真時，系統(tǒng)在高速仍然可以保持穩(wěn)定，驗證了在全頻工作范圍內(nèi)保持系統(tǒng)穩(wěn)定的可行性。

圖6 有無抑制對比(轉(zhuǎn)速209rad/s)

圖7 有無抑制對比(轉(zhuǎn)速628rad/s)

在未采用主動振動控制時，系統(tǒng)振動力時域變化如圖6(a)和圖7(a)，電磁力因質(zhì)量不平衡及傳感器干擾產(chǎn)生較大振動，特別是在轉(zhuǎn)速較高時，振動力較大，在轉(zhuǎn)速209rad/s和628rad/s時，其同頻振動力幅值分別達到13.5N和58N, 電磁力振動會對磁懸浮飛輪的工作效果產(chǎn)生不利影響。為了抑制振動力，采用復(fù)合陷波器進行控制，仿真結(jié)果如圖6(b)和圖7(b)所示，同頻振動和倍頻振動都得到了抑制；從時域圖可以看出，轉(zhuǎn)速為209rad/s的系統(tǒng)在0.3s時，其值趨近為0N，轉(zhuǎn)速為628rad/s的系統(tǒng)在0.65s時，其值也趨近為0N，說明干擾產(chǎn)生的振動力能很快被完全抑制。

4 結(jié)論

通過建立磁懸浮飛輪受干擾模型，以振動力為研究對象，分析了同頻及倍頻振動力產(chǎn)生的機理，提出以同頻振動力與倍頻電流剛度力復(fù)合控制的微振動力控制方法，并在全頻率工作范圍下對復(fù)合陷波器進行了設(shè)計；采用MATLAB/Simulink仿真校驗了轉(zhuǎn)速在209rad/s和628rad/s時振動抑制情況，同頻振動和倍頻振動的幅值均趨近于0N，研究結(jié)果表明：在采用復(fù)合陷波器控制方法后，不平衡振動及傳感器干擾產(chǎn)生的振動力得到了有效控制，驗證了該方法的有效性；但是當(dāng)系統(tǒng)存在多倍頻率干擾時，復(fù)合陷波器的設(shè)計相對復(fù)雜，因此改進抑制多倍頻的方法將是下一步值得研究的問題。