考慮促銷努力的供應鏈產能策略及其協調

常 珊 ,胡 斌 ,汪婷婷

(1.湖北經濟學院 信息管理學院 大數據與數字經濟研究院,武漢 430205;2.華中科技大學 管理學院,武漢 430074)

在企業的生產運作過程中存在著供需不匹配的問題,例如勞動力、技術和設備、原材料、加工制造、辦公場地和庫存等的過剩或不足[1],這給企業的產能管理帶來了挑戰。產能過剩會導致資源浪費和低效率,產能不足會造成銷售流失和信譽損失。因此,有效的產能管理不僅能更好地匹配供需,保障企業價值實現過程的高效性,還可以提高企業的市場競爭力。以物聯網和云計算等新興信息技術為基礎的云制造模式[2]使得制造商的產能具有柔性——根據需求情況進行產能擴張。在供應鏈情境下,企業間決策彼此關聯,制造商的產能柔性也必將受到其下游零售商相關決策的影響。因此,在供應鏈情景下研究制造商的產能柔性與零售商相關決策間的交互影響,不僅是理論上值得探討的問題,同時也是實踐領域需要解決的現實問題。

廣告或促銷是企業創造需求的重要工具[3]。作為直面消費者的零售商,其有實施廣告或促銷活動的強烈動機。零售商的價格調整或促銷活動會影響市場需求,這種變化可能導致上游制造商的產能問題——產能過剩或不足。針對該問題,制造商可以采用不同策略加以應對。其一,制造商通過批發價影響零售商的價格或促銷決策,從而間接影響市場需求,以緩解其產能管理問題;其二,制造商構建柔性產能,以產能擴張的方式應對因零售商營銷策略引起的需求變化對其產能管理的影響。可見,零售商的價格和促銷努力決策與制造商的批發價決策和產能策略之間相互影響。因此,當制造商的產能不具有擴張性時,零售商是否有實施促銷的動機? 促銷努力對供應鏈績效有何影響? 當制造商的產能具有擴張性時,其是否會利用產能擴張來滿足更多市場需求? 零售商的促銷行為對供應鏈績效又會有怎樣的影響? 兩企業間相互制約的關系是否會導致供應鏈中柔性產能的低效率? 是否存在契約能夠協調供應鏈,使兩個企業的利潤都得到Pareto改進? 為回答上述研究問題,本文首先考慮制造商的兩種產能策略,并分析零售商的價格或促銷決策在不同產能策略下的影響;然后,基于供應鏈低效率的問題,通過設計合適的契約以協調該供應鏈。

1 文獻綜述

促銷投入可以讓產品購買者獲得額外效用,從而增加該產品市場份額[4]。大量文獻都在研究中考慮促銷努力對需求的影響。在零售價格外生的假定下,Krishnan等[5]考慮了不確定需求下的庫存決策和需求確定后的促銷努力決策。其中,促銷努力是通過相乘的方式影響需求,類似的研究還有文獻[6-8]。Nouri等[9]則在模型中考慮零售商促銷努力對需求的線性影響。上述研究均假設零售商是市場價格的被動接受者(沒有定價權)。另外,在轉售價格維持契約下,零售商也不能進行價格決策,只能通過促銷努力影響需求[10-11]。在非完全競爭市場下,例如由制造商和零售商組成的雙層供應鏈中,每個成員都是對應層級中的壟斷者,擁有完全的定價權。Desai[12]認為需求是零售商增值服務的凹性增函數,是零售價格的線性減函數。文獻[13-16]中均同時考慮促銷和價格因素對需求的不同影響。在零售商的促銷努力成本是私有信息時,Gurnani等[17]研究了制造商對不同契約的偏好。在促銷成本和促銷努力水平均不可知的情境下,Mukhopadhyay等[18]設計了最優契約激勵零售商進行促銷。不同供應鏈結構下的促銷努力也得到學者關注[3,19-20]。

一旦在模型中考慮零售商的促銷努力,傳統的契約可能無法協調供應鏈。Krishnan等[5]的研究表明,回購契約會削弱零售商的促銷動機,因此,需要結合促銷成本共享等契約才能實現供應鏈協調。在雙層供應鏈中,Ma等[21]設計了兩部定價契約、促銷成本和質量改進成本分擔相結合的契約來協調供應鏈。Cachon等[22]考慮了存在零售商促銷努力時收益共享契約的有效性問題,結果表明,促銷效果的強弱會影響供應商對收益共享契約和批發價契約的選擇。He等[23]發現,在依賴促銷努力和零售價格隨機需求下大多數契約都無法實現供應鏈協調,由此設計了組合契約進行協調。另外,相關學者研究了上游企業[24]、上下游企業同時實施促銷努力的情況[25-27],但均未考慮產能或庫存約束。

上述文獻表明:①促銷努力是實現需求增量(線性或非線性的)的重要方式之一;②促銷努力的引入使企業的決策更加復雜(信息的不對稱、協調契約的有效性);③促銷努力與產能擴張相結合的研究還不充分。

關于產能投資問題,現有文獻大多都是基于需求不確定性分析產能投資不足和過剩之間的決策權衡。Tomlin[28]研究了供應商和制造商同時投資產能時的協調問題。Erkoc等[29]和Jin等[30]設計了產能預留契約來協調上游供應商的產能投資問題。當需求信息不對稱時,下游制造商會夸大需求預測[31],?zer等[32]設計了非線性的產能預留契約和提前采購契約來解決該問題。在信息對稱情境下,相關學者使用懲罰[33]、補償[34-36]、收益共享[36]、成本分擔[37]等契約來協調產能投資問題。在考慮提前期的兩階段模型中,供應商在第1階段確定產能水平,零售商在第2階段觀察到需求信息后確定訂貨量和零售價格。Chen等[38]設計了風險和收益分享契約對其進行協調。Lu等[1]在雙層供應鏈中考慮了產能擴張投資問題,但零售價格是外生給定的,且沒有考慮促銷努力和供應鏈協調。在兩階段生產供應鏈中,Huang等[39]比較了基本策略、批發價折扣和產能擴張策略3種生產策略,結果表明,當單階段的產能不足時,產能擴張是該供應鏈的占優策略,但其同樣沒有考慮零售商的價格和促銷努力決策。

上述文獻表明:①現有文獻大多都是在不確定需求下研究產能投資量(或備貨量)問題(報童問題);②可以用不同的協約形式來協調供應鏈中的產能投資問題;③制造商產能擴張的研究中還未考慮產能擴張與零售商營銷決策之間的交互。

在產能設定方面,邵曉峰等[35]假設制造商的生產能力調整速度很快,當供應商的生產能力出現約束時,制造商可以一個更高的采購價格從外部其他渠道獲取關鍵零部件,從而不受產能約束。該假定與本文的產能擴張的設定類似,但也存在不同,例如在其模型中外購件的單位成本是外生給定的,而本文中產能擴張成本是邊際遞增的(類似研究有文獻[1])。另外,本文還考慮上游企業的批發價決策以及下游企業的促銷努力。在下游企業決策方面的研究有:Chen等[38]的兩階段模型的第2階段中零售商的價格決策與本文設定類似,但其未考慮零售商的促銷努力決策;常珊等[40]在報童模型下考慮了類似的產能柔性,但是沒有考慮零售商的營銷行為;Gurnani等[10]考慮了零售商在數量約束下的促銷努力決策問題,但是在轉售價格維持契約下零售商沒有定價權,且沒有考慮制造商產能擴張的情況。

2 基本假設與模型分析

2.1 基本假設

考慮由一個風險中立的制造商和一個風險中立的零售商組成的供應鏈。零售商面臨著對價格p敏感且會受到促銷努力e影響的市場需求q(p,e)。假設零售商的促銷努力效率為γ,即單位促銷努力可以帶來γ單位的需求。因此,參考文獻[10-11,13],需求函數可表示為

式中:a表示市場潛在需求;b>0表示市場需求對零售價格的敏感性(為簡化分析,假設b=1)。同時,促銷努力也會產生成本,假設促銷努力成本系數為α,且邊際成本遞增,即單位成本的促銷努力獲取客戶的難度越來越大。參考文獻[3,15],促銷努力成本可表示為αe2。為保證解的存在性和唯一性,假設γ2<4α,其潛在含義是促銷效率不可能太高,否則零售商會無限制地開展促銷以增加需求。假設制造商初始產能水平為K,單位產品生產成本為c,并以批發價w向零售商供貨。假設制造商有如下兩種可選產能策略用于滿足零售商所確定的市場需求。

2.1.1 可擴張的產能策略(E) 在產能策略E 下,

當K無法滿足q時,制造商可通過擴張產能的方式滿足需求q。產能擴張可通過外部資源交易或內部產能轉換實現。對于前者,制造商可以更高的價格從外部采購[35]或臨時性委托制造,以快速調整生產能力,云制造平臺將進一步促進這種產能擴張方式的發展;對于后者,智能制造工廠可以將產能在多個產品線之間進行靈活轉換,從而讓某個產品的生產不受現有產能水平的約束。此外,還可臨時雇傭更多工人或延長設備運行時間等方式調整產能。無論采用哪種形式,額外產能的獲取都需要企業付出更多的成本,即體現規模不經濟性。為滿足超過初始產能水平的需求,參考Lu等[1]的做法,假設產能擴張產生的額外成本為β(q-K)2/2,則總生產成本為:cq+β[(q-K)+]2/2。

2.1.2 受約束的產能策略(P) 在產能策略P下,制造商的初始產能量水平將是其可以向市場供應產品量的上限,其需要通過價格調整來匹配產能和需求,因此,可滿足的市場需求為min{q,K}。相應地,產能策略P下的總生產成本為cmin{q,K}。

2.2 分散決策時各產能策略下的決策問題

制造商根據零售商所決定的市場需求進行生產,因此,通過逆序法依次求解兩個企業的決策問題。在分散結構下,供應鏈中各主體都以自身利益最大化為原則進行決策,零售商的決策問題可以表示為(下標R 表示零售商)

給定制造商的批發價,分別求零售商利潤πR(p,e)關于p和e的偏導數,并令其等于0,聯立求解可得到零售商的決策及相應的需求,關于批發價w的表達式為:

制造商會依據零售商的上述決策做出自己的最優決策。對于制造商而言,有兩種可選產能策略(下文中,下標M 表示制造商,E 表示可擴張的產能策略,P表示受約束的產能策略)。

2.2.1 產能策略E下制造商的決策問題 一旦制造商采用可擴張的產能策略(E),即意味著當市場需求量超過了制造商的初始產能水平時,制造商可通過產能擴張的方式以滿足超過其初始產能水平的需求量。此時,制造商的決策問題為

命題1在可擴張的產能策略(E)下,當K

命題2在可擴張的產能策略(E)下,當K≥K0時:

證明見附錄B。

命題1和命題2表明,在初始產能水平較低狀態下,可擴張的產能策略(E)的價值將得以體現,但產能擴張量會受到諸多因素的影響,例如初始產能水平K、產能擴張成本系數β和促銷效率γ等。初始產能水平越高,產能擴張成本越高,則產能擴張量越少。因此,初始產能水平和產能擴張成本系數會對產能擴張量產生負向影響。較高的促銷效率會帶來更多市場需求,從而需要更高產能量來滿足該需求。因此,促銷效率對產能擴張量會產生正向影響。在產能擴張狀態下,優化促銷效率(γ)可以為供應鏈帶來足額的需求增量和更高的批發價,制造商會從中獲益,但零售商可能因此而利潤受損。一方面,零售商會因需求量增加而獲得銷售增量;但另一方面,制造商會通過批發價向零售商轉移產能擴張帶來的成本,同時零售商還需要承擔額外的促銷成本。因此,當產能擴張成本系數太高時,零售商改善促銷效率帶來的收入不足以抵消由此增加的成本而利潤受損。

管理啟示:當產能不充足時,制造商可以通過擴張產能的方式來滿足更多需求,但會通過批發價轉移部分產能擴張成本;開展促銷活動是零售商用來增加銷量的常用策略,但如果零售商試圖改善促銷效率,則需要明確制造商的產能狀態,即當制造商的產能擴張技術效率較高時,零售商改善促銷效率才會對自身有利。

2.2.2 產能策略P下制造商的決策問題 在產能策略P下,制造商的產量可能會受制于其初始產能水平,即其產品生產量不會超過K。制造商的決策問題可表示為

求解上式,并結合式(3)～(5),可有如下命題。

命題3在受約束的產能策略(P)下,當K

命題4在受約束的產能策略(P)下,當K≥K0時:

證明見附錄B。

上述命題表明,在受約束的產能策略(P)下,促銷效率(γ)對企業決策和利潤的影響與制造商初始產能水平有關。制造商產能受限時,改善促銷效率會導致更高的零售價格和促銷努力水平,制造商也會依此設定更高的批發價。雖然零售價格的提升會增加零售商的銷售收入,但是更高的促銷努力水平會產生更高的促銷成本,同時也要面臨更高的批發價,這些都將侵蝕零售商的利潤,并最終使零售商遭受利潤受損。制造商產能充足時,零售商通過改善促銷效率帶來的需求增量,都能被制造商充足的產能所滿足,而無需利用批發價對其進行調節。因此,在量價齊升的情況下,零售商可以從促銷效率改善中獲益。制造商作為供應鏈的主導者,總可以從促銷效率提升中獲益:在產能不足時,其可以通過提高批發價獲益;在產能充足時,其可以通過滿足更多市場需求而獲益。

管理啟示:當制造商不具備產能擴張能力時,零售商應謹慎選擇是否改善其促銷效率。特別是當制造商產能不充足時,促銷效率的改善可能使零售商面臨更高的批發價,從而使自身利潤受損。對于制造商而言,在不同產能狀態下可以有不同的實現利潤最大化的方式。

2.3 集中決策時各產能策略下的決策問題

假設存在一個集中決策者,其同時決策產品的零售價格p和促銷努力e。在兩種產能策略下,集中決策者將有不同的決策問題(上標I表示集中結構)。

2.3.1 可擴張的產能策略(E)下的最優決策及利潤 集中決策結構下,采用產能擴張策略,即意味著市場需求高于供應鏈系統初始產能水平時,集中決策者可以采用產能擴張的方式滿足超出初始產能水平的需求。此時,集中決策者的優化問題為

對上述問題的求解可得如下命題。

命題5可擴張的產能策略下,當K<2K0時,集中決策者的最優決策和利潤為:

命題6可擴張的產能策略下,當K≥2K0時,集中決策者的最優決策和利潤為:

證明見附錄B。

命題5和命題6呈現了集中系統在可擴張產能策略下的決策和利潤。與分散結構下的初始產能水平邊界(K0)相比,集中結構下可擴張的產能策略(E)發揮作用時初始產能水平有著更寬的邊界(2K0),這意味著集中系統可以達到更高的最優產出量。

2.3.2 受約束的產能策略(P)下的最優決策及利潤 當無法進行產能擴張時,集中決策者只能通過價格和促銷努力決策實現自身利潤最大化,集中系統的利潤函數可表示為

對上述問題的求解可得如下命題。

命題7受約束的產能策略下,當K<2K0時,集中決策者的最優決策和利潤為:

命題8受約束的產能策略下,當K≥2K0時,集中決策者的最優決策和利潤為:

證明見附錄B。

命題7和命題8呈現了集中系統在受約束的產能策略下的決策和利潤。同樣地,與分散結構下的初始產能水平邊界相比,集中結構下也具有更寬的邊界,從而可達到更高的最優產出量。

3 不同產能策略下的決策及利潤的比較分析

本部分將在分散結構和集中結構下,對兩種產能策略下的決策和利潤進行比較,并探討不同因素(K、α或γ)的影響。

命題9在可擴張的產能策略(E)和受約束的產能策略(P)下,制造商和零售商的決策及利潤滿足如下關系(其中,0 <γ2<4α,K0=α(a -c)/(4α-γ2)):

證明見附錄B。

命題9 表明,當初始產能水平足夠高(K≥K0)時,兩種產能策略下的決策問題均等價于無產能約束下的決策問題,從而具有相同的決策和利潤,這比較符合直觀;但當K

管理啟示:采用可擴張的產能策略可以為供應鏈帶來更高的產能柔性,對供應鏈成員都有利。但在進行產能擴張時,如果促銷努力效率偏低,零售商應向市場提供數量更多但價格更低的產品;如果促銷效率偏高,則零售商應高價銷售產品。

命題10在可擴張的產能策略和受約束的產能策略下,集中結構下的利潤大小滿足如下關系:當K<2K0時,;當K≥2K0時,

證明見附錄B。

命題10表明,在初始產能水平不超過2K0時,與受約束的產能策略相比,可擴張的產能策略下集中決策者可以獲得更高利潤。因此,可擴張的產能策略應作為該供應鏈系統的首選。此策略下的系統利潤是該系統可以實現的最優利潤,將作為后續設計協調契約的標桿。

命題11在可擴張的產能策略(E)下,分散決策結構和集中決策結構下產量和利潤滿足如下關系:

證明見附錄B。

命題11表明,在分散結構下由于雙重邊際效應的存在,零售商和制造商都以自身利益最大化為目標進行決策,從而導致供應鏈中的產量和總利潤要低于集中決策結構下的產量和利潤。因此,下文將通過設計協調契約,使零售商和制造商在分散結構下也能實現集中結構下的生產數量和利潤,且都獲得更高的利潤,實現整個系統利潤的Pareto改進。

4 供應鏈協調分析

命題10表明,可擴展的產能策略(E)對于整個系統而言是一種優勢策略;而命題11表明,分散結構下的企業決策會導致供應鏈系統的低效率,從而無法充分發揮產能擴張和促銷努力的效果。下文將設計適用的契約對供應鏈成員的決策進行協調,以實現整個供應鏈系統績效的改善。由于為消除制造商與零售商之間的雙重邊際效應,增加分散決策下的生產量,下文將利用理論和實踐中常用的兩部定價契約(w,F)進行協調。其中,w為零售商從制造商處采購所支付的批發價,F為零售商與制造商之間的轉移支付。為簡化表示,用和分別表示在產能策略E 下使用兩部定價契約時零售商和制造商的利潤,其他符號含義同前文,

求解上述問題,可有命題12。

命題12兩部定價契約(w,F)可以協調產能策略E下的供應鏈,但需滿足:

(1)當0

如果0

(2)當K≥2K0時,wF=c,Fmin,3≤F≤Fmax,3。

其 中,Fmin,1、Fmax,1、Fmin,2、Fmax,2、Fmin,3、Fmax,3表達式見附錄證明。

證明見附錄B。

命題12表明,在可擴張的產能策略下,使用兩部定價契約可以協調該供應鏈,但契約中的參數(批發價和轉移支付)應根據制造商初始產能水平的狀態進行調整。

5 數值分析

為直觀地分析本文所得相關結論,并進一步揭示相關參數對企業決策及利潤的影響,本節利用數值仿真方法進行分析。在滿足約束條件α>γ2/4的前提下,取如下參數值:a=100,c=30,α=2.5,γ=2,β=2。

(1)不同產能策略下的最優生產量。在上述參數值設定下,初始產能水平不同可能會使供應鏈確定不同的最優生產量。在分散結構下,當K

圖1 不同產能策略下初始產能水平K 對最優生產量的影響

(2)不同產能策略和決策結構下的企業(供應鏈)利潤。圖2(a)～圖2(c)表明,當K

圖2 不同產能策略和決策結構下的利潤

(3)協調契約參數對企業利潤的影響。兩部定價契約(w,F)可以協調考慮促銷努力和產能擴張的供應鏈,但需要設置合適的參數值以適應制造商不同初始產能水平帶來的影響。給定制造商初始產能水平,則可以確定實現供應鏈協調的批發價,以及確保制造商和零售商都受益的轉移支付范圍。例如,當K=23.3

圖3 當K=23.3時可實現供應鏈協調的F 取值范圍

(4)初始產能水平對契約協調參數上界和下界的影響。圖3展示了特定初始產能水平下,實現供應鏈協調的轉移支付邊界。圖4則從更一般的角度展示了不同初始產能水平對應的轉移支付邊界。當K≤2K0時,隨著制造商初始產能水平的提高,整個供應鏈利潤遞增(見圖2(c)),且零售商利潤增速更快(見圖2(a)和圖2(b));同時,為實現供應鏈協調,制造商需要接受更低的批發價,以消除雙重邊際效應。因此,零售商需要向制造商轉移更多的利潤,才能確保協調后的制造商利潤有所改善,即Fmin和Fmax均會隨著K遞增(見圖4)。

圖4 不同K 值下實現供應鏈協調的F 上界和下界

6 結論

有效的產能管理不僅能夠提高企業運作效率,還可以改善其供應鏈績效。本文在雙層供應鏈結構下研究了考慮零售商促銷努力的制造商產能策略及協調機制。研究結論表明:

(1)初始產能水平不足會促使供應鏈選擇產能擴張,該策略的實施會使制造商和零售商都從中獲益。在產能擴張狀態下,零售商應謹慎地改善其促銷效率,因為當產能擴張成本系數偏高時,制造商會通過批發價向零售商轉移成本,從而使零售商利益受損。

(2)在可擴張的產能策略下,兩部定價契約可以實現供應鏈協調,但批發價和轉移支付應根據制造商的初始產能水平狀態進行設定。

本文僅考慮了風險中立的制造商和零售商之間的博弈決策問題,由于產能投資也存在一定風險,將制造商的風險態度納入模型中將是一個非常有意義的方向。此外,也可在競爭因素、不確定性、權力結構差異等方面做進一步拓展。

附錄A

附表1 分散結構下各企業的均衡決策及利潤

附表2 集中結構下的最優決策及利潤

附錄B

命題1和命題2的證明零售商的利潤表達式為:πR(p,e)=(p-w)q-αe2,分別求其對p和e的偏導數,并令其等于0,可有:

當γ2/α<4時,上述矩陣是負定的,即πR(p,e)是p和e的凹函數。通過式(B1)和(B2)可求得:p(w)=w +代入式(1),可有,即分別對應正文中式(3)～(5)。

(1)當K

制造商利潤關于w的二階導數,當4α-γ2>0或4α-γ2+αβ<0時,,即πM,E(w|K)是關于w的凹函數。通過求解式(B3)可得:分別代入式(3)～(5),可得:

進而可得零售商和制造商利潤,分別為:

由前文假設K

產能擴張量

(2)當產能充足即K≥q(w)時,πM,E(w|K)=(w-c)q(w),將式(5)代入,并令其關于w的一階導數等于0,可有:

求解式(B4)可得(a+c)/2,分別代入正文中式(3)～(5),可得:

由前文假設K≥q(w)可有,即當K≥K0時可得上述均衡決策。將其匯總于附錄A 中附表1。

在此情景下,產能充足K≥K0,即產能擴張量命題2得證。

命題3和命題4的證明在產能策略P下,制造商利潤函數為:πM,P(w|K)=(w-c)min{q(w),K}。假設在無產能約束下的均衡批發價為w*。

(1)當K≥q(w*),即制造商產能較充足時,πM,P(w|K)=(w-c)q(w),最優批發價的求解方法同前文產能策略E中在無產能約束下對最優批發價的求解。相應地,均衡決策表達式為:

制造商產能充足意味著K>K0。將上述各式匯總于附錄A 中附表1。

(2)若K

將上述結果匯總于附錄A 中附表1。

命題5和命題6的證明在產能策略E下,集中系統的利潤為:,且由式(1)可知q=q(p,e)=a-bp+γe。

(1)當K足夠大時,集中決策者不會受到初始產能的約束,此時集中系統的利潤為:πIE(p,e)=(p-c)q(p,e)-αe2,分別求利潤關于p和e的偏導數并令其等于0,可有:

(2)當K不充足(即K<2K0)時,集中決策者會受到初始產能水平的約束,此時集中系統的利潤可以表示為:

分別求其關于p和e的偏導數并令其等于0,可有:

聯合上述兩式并求解可有:

將零售價格和促銷努力分別代入需求函數和利潤函數,可有:

將上述結果匯總于附錄A 中附表2。命題6得證。

命題7和命題8的證明在產能策略P下,集中結構利潤為:(p,e)=(p-c)min{q(p,e),K}-αe2,同前文分析思路,下文將考慮兩種情景下的決策問題。

(1)當K足夠大,即無產能約束時(p,e)=(p-c)q(p,e)-αe2。此時,最優決策問題與產能策略E下的決策問題相同,因此,可直接得到相應決策及利潤,分別為:且K≥2K0。

(2)當初始產能水平不足,即受產能約束(K<2K0)時,供應鏈會充分利用產能,即(p,e)=(p-c)K-αe2。即供應鏈會提高產品價格p或降低促銷努力e,使市場需求恰好滿足q(p,e)=K,以實現系統利潤最大化,即

將式(B5)代入利潤式,可有(e)=(p(e)-c)K-αe2。求該利潤關于e的導數,并令其等于0,可有Kγ=0,可得將其代入式(B5),可有。相應地,可有:,其中,K<2K0。

將上述結果匯總于附錄A 中附表2。命題7和命題8得證。

命題9的證明下文將以附錄A 中附表1為基礎對命題9進行證明。

(1)當K

(2)當K≥K0時,由附表1易知產能策略E、P下的各決策與利潤表達式是相同的,因此,命題9(2)直接得證。

命題10的證明附錄A 中的附表2呈現了兩種產能策略下集中系統的決策和利潤。

(1)當K<2K0時,產能策略P、E下的利潤作差可有

(2)當K≥2K0時,由附表2中的表達式可直接得到命題10得證。

命題11的證明根據附錄A 中的附表1和附表2,下面將分3個階段依次比較產能策略E 下分散決策和集中決策下的生產量和總利潤。

(1)當K

(2)當K0≤K<2K0時,

命題12的證明在兩部定價契約(w,F)下,w為零售商從制造商處采購所支付的批發價,F為零售商與制造商之間的轉移支付。兩部定價契約(w,F)能協調供應鏈需要滿足兩個條件:①實現與集中結構下相同的決策;②供應鏈中各成員的利潤情況會更好(至少不會變差)。在兩部定價契約下零售商和制造商的利潤分別為:

根據決策順序,首先計算零售商的價格和促銷努力決策,然后再進行制造商的批發價決策。

分別求式(B6)關于p和e的偏導數,并令其等于0,可有:

同附錄中命題1的證明,當γ2<4α時,可求得:

(1)當K<2K0時,集中系統因初始產能不足而處于產能擴張狀態,且此時的產量為:。為實現產量上的協調,需滿足,即w應設定為

將其代入式(B8)和(B9),并對比附表2中表達式,可有:

可知在K<2K0的情況下,兩部定價契約實現了與集中結構下相同的決策,同時還實現了系統最優利潤。

(2)當K≥2K0時,集中系統處于產能充足狀態,且此時同上,為實現產量上的協調,即qF(w),應將w設定為

同上,將其分別代入式(B8)和(B9)并與附表2中表達式對比,可有:

因此,同樣地,當K≥2K0時,兩部定價契約也可以實現與集中結構下相同的決策,且實現系統最優利潤。

上述結論表明,兩部定價契約滿足了協調契約的第1個條件,協調契約的第2個條件應滿足

(1)當K

即在兩部定價契約下,當K

(2)當K0≤K<2K0時,

即在兩部定價契約下,當K0≤K<2K0時,如果,且Fmin,2≤F≤Fmax,2,則零售商和制造商的利潤都會得到改善。

(3)當K≥2K0時,

即在兩部定價契約下,當K≥2K0時,如果wF=c,且Fmin,3≤F≤Fmax,3,則零售商和制造商的利潤都會得到改善。

綜上可有:

(1)當K<2K0時,,如果0

(2)當K≥2K0時,wF=c,Fmin,3≤F≤Fmax,3。其中:

命題12得證。