零點(diǎn)的隱與現(xiàn)
——兼論2022年全國乙卷第16與21題

黃秋帆

(北京師范大學(xué)教育學(xué)部)

1 零點(diǎn)的定義與隱零點(diǎn)概念澄清

對于函數(shù)y＝f(x),使f(x0)＝0的實數(shù)x＝x0叫作函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn),即函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x0)＝0的實數(shù)根,也就是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

從零點(diǎn)的定義不難看出,初學(xué)者可能會將零點(diǎn)與坐標(biāo)混淆.而零點(diǎn)的問題一般轉(zhuǎn)換為求解普通方程,或是直接通過畫圖轉(zhuǎn)換為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題.函數(shù)零點(diǎn)問題中最讓廣大學(xué)生頭疼的還是復(fù)雜零點(diǎn)代換與隱零點(diǎn)問題,歷年的模擬考試與高考中隱零點(diǎn)問題都是“攔路虎”.

中學(xué)數(shù)學(xué)中并沒有給出隱零點(diǎn)的規(guī)范定義,從自然定義的角度來說,隱零點(diǎn)是零點(diǎn)的一種,只是出于種種原因隱而不現(xiàn).如何找到隱零點(diǎn),然后通過研究其存在范圍與滿足的等量關(guān)系實現(xiàn)消元成為重要的問題.

在高中階段,研究隱零點(diǎn)存在性的方法為零點(diǎn)存在定理,證明隱零點(diǎn)唯一性的方法為單調(diào)性法.使用零點(diǎn)存在定理時,有兩種方案分別是極限取值法與“找點(diǎn)法”,極限取值法本質(zhì)上也是一種“找點(diǎn)”,只不過無窮并不是一個值,需要用極限來表述.需要指出的是,對隱零點(diǎn)的普遍誤解有以下三點(diǎn).

1)隱零點(diǎn)在大部分情況下是固定的一點(diǎn),它可以隨參數(shù)而動,但本質(zhì)上并不是自變量,所以它并沒有所謂的“定義域”或“取值范圍”,而大多數(shù)人指稱的隱零點(diǎn)“取值范圍”實際上是在已知存在性的前提下,因為人力無法解出超越方程,對其范圍的一種妥協(xié),故稱其為“存在范圍”更為合理.

2)我們在對隱零點(diǎn)滿足的關(guān)系進(jìn)行換元時,換元后實際上已經(jīng)是另一個函數(shù)了,只有x＝x0時才能實現(xiàn)完美代換,即兩個函數(shù)交于x＝x0,其余點(diǎn)都存在與原函數(shù)相比的誤差,因此對隱零點(diǎn)的范圍估計決定了誤差的大小,這一點(diǎn)筆者會在后面的例題中通過畫圖進(jìn)行闡釋.

3)我們是否一定需要知道隱零點(diǎn)的具體范圍?實際上并不一定.這一點(diǎn)在2022年全國乙卷第16題中可以得到體現(xiàn).

2 例題的分類與講解

圖1

此題涉及原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,由于指對混合函數(shù)的特殊性,無法得到具體的零點(diǎn)、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)的位置,但是可以通過不斷地用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性進(jìn)行拆分,得出三個函數(shù)的隱零點(diǎn),從而推出f(x)單調(diào)性,最終再用一次零點(diǎn)存在定理得到答案.與之前幾道題都不同的是,隱零點(diǎn)在這道題中并不需要進(jìn)行等價代換.此題在思維上并不復(fù)雜,但是需要學(xué)生有扎實的基本功以進(jìn)行運(yùn)算.