化二為一
——通過構造函數解決函數雙變量問題

王 欣 張 浩

(1.北京工業大學附屬中學 2.北京市朝陽區教育科學研究院)

2022年高考數學北京卷第20題考查了與雙變量有關的函數問題.雙變量問題一直是函數與導數問題的難點,其原因在于當兩個變量都在變化時,究竟是用一個變量來表示另一個變量實現消元,還是兩個變量通過變形用第三個變量來整體替換,亦或是通過化簡變形實現同構,再構造新函數借助單調性來解決,需要具備很強的數學運算素養與邏輯推理素養.本文通過整理雙變量問題的常見解決方法,為今后處理類似問題提供思路.

函數是描述客觀世界中變量關系和規律最為基本的數學語言和工具.高中階段研究的函數通常為單變量函數,主要研究函數值隨著自變量的變化情況,如在變化過程中是否具有確定性、規律性等.

1 利用雙變量的關系化二為一,構造新函數

2 配湊雙變量的運算整體換元,構造新函數

3 分離變量借助函數單調性,構造新函數

在人教版新教材中,函數單調性的定義為:一般地,設函數f(x)的定義域為I,區間D?I,如果?x1,x2∈D,當x1＜x2時,都有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2)),那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞增(或遞減).

事實上,初中通過對函數圖像的直觀描述也提出了函數單調性的概念,即y隨x增大而增大(或減小).在高中階段,對于函數單調性的定義,要實現從圖形語言向符號語言的過渡,最大的難點就是把y隨x增大而增大(或減小)這樣的直觀描述用嚴謹的數學符號語言來表述.增大與減小都需要比較,而表達比較就需要用兩個變量來刻畫,所以函數單調性的定義本身就涉及了雙變量的問題.因此,我們可以考慮通過等價轉化變形,構造出“相同構型”的數學式子,將問題化歸為某個單變量函數的單調性問題.

分析 注意到在不等式右側的式子中,分子只含x1,分母只含x2,如果將不等式左側的x1與x2拆開,就有可能實現將兩個變量分離在不等號的兩側,出現相同構型的代數式,進而化歸為某個單變量函數的單調性問題進行解決.

4 指定函數的自變量和參變量,構造新函數

例5 (2022 年北京卷20)已知函數f(x)＝exln(1＋x).

(1)求曲線y＝f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)設g(x)＝f′(x),討論函數g(x)在[0,＋∞)上的單調性；

(3)證明:對任意的s,t∈(0,＋∞),有

f(s＋t)＞f(s)＋f(t).

分析 本題第(3)問,f(s＋t)＝es＋tln(1＋s＋t),無法直接利用對數運算法則拆成與f(s)＝esln(1＋s)或f(t)＝etln(1＋t)相關的式子,因此不能如例4一般,在分離變量之后出現相同構型,進而轉化為新函數的單調性進行求證.此外,由于s與t是任取的兩個變量,因此彼此之間也沒有像例1那樣的等量制約關系,因此無法用一個變量來表示另一個變量實現消元.值得注意的是,s與t在所證明的式子中是對稱的,彼此之間互不影響,可以考慮選擇其中一個作為自變量,另外一個視為參變量,從而將雙變量的函數問題看成單變量的函數問題,使得該問題變成熟悉的問題.

解 構造函數h(s)＝f(s＋t)－f(s)－f(t),s∈(0,＋∞),t為參數,t∈(0,＋∞),則h′(s)＝f′(s＋t)－f′(s).由(2)知,g(x)＝f′(x)在[0,＋∞)上單調遞增,因為s＋t＞s,所以f′(s＋t)＞f′(s),即h′(s)＞0,所以h(s)在(0,＋∞)上單調遞增,所以h(s)＞h(0)＝f(0＋t)－f(0)－f(t)＝－f(0)＝0,所以f(s＋t)＞f(s)＋f(t).

在雙變量問題中,將其中一個變量視為主變量,另外一個視為參變量,將問題轉化為該主變量的函數、方程或不等式問題,本質上是函數與方程思想的應用.尤其是當兩個變量在等式或不等式中的地位相同時(即對稱),可以考慮利用指定主變量的方法解決問題.

例6 對于任意實數a,b,若(a－b)2≥kab恒成立,求實數k的取值范圍.

分析 這個問題如果從基本不等式或不等式的性質角度考慮會比較復雜,需要討論多種情況.如果注意到實數a與b在這個不等式中是對稱的,就可以考慮將其中一個視為變量,而將另一個視為參數.

解 將不等式轉化為一個關于a的二次不等式恒成立問題:即f(a)＝a2－(kb＋2b)a＋b2≥0恒成立.由于a是任意實數,因此結合二次函數的圖像性質,只需Δ＝(kb＋2b)2－4b2≤0 恒成立,即k2b2＋4kb2＋4b2－4b2≤0,k2＋4k≤0,k∈[－4,0].

此外,對于這種雙變量的函數問題,即使問題中已經指定了某個變量是自變量,在解決問題的過程中,也可以突破常規,打破固有思維,重新選定變元,可能會收到意想不到的效果,快速解決問題.

例7 對于任意實數a∈(－1,1],f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立,求x的取值范圍.

分析 這個問題,如果僅從不等式的角度看,是一個典型的雙變量(a與x)的不等式恒成立問題.在函數f(x)中自變量為x,大多數學生自然會從二次函數的角度出發考慮這個問題.由于a是變化的,因此這個二次函數的對稱軸以及一些特殊點的函數值都是隨之變化的,所以從二次函數圖像的角度反過來推測滿足條件的自變量的取值很復雜.此外,即使題目中沒有指定x為函數的自變量,很多學生也無法擺脫思維定勢,會習慣性地假定x就是函數的自變量,a為參數.其實對于這個問題,如果調整一下思考的方向,將a視為自變量,即指定a為變元,將x看作參數,則可以構造一個關于a的新函數:

總之,無論是指定主變量還是改變主變量,都需要結合具體的問題,觀察每個變量對方程、不等式、函數的影響,巧妙地將問題轉化為單變量的函數、方程、不等式問題,這需要對函數與方程的思想有較為透徹的理解,同時也要具備較強的數學運算與邏輯推理素養.

5 涉及兩個函數的雙變量問題,直接轉化為最值問題

例8 已知函數f(x)＝8x2＋16x－k,g(x)＝2x3＋5x2＋4x,k∈R.

(1)對?x1,x2∈[－3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范圍；

(2)若?x1,x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范圍；

(3)對?x1∈[－3,3],?x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范圍；

(4)若?x1∈[－3,3],?x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范圍.

分析 這幾個問題表面上看涉及了兩個變量,但由于這幾個問題中的不等號兩側涉及的是兩個函數,因此對其中任意一個函數而言,還是單一變量的問題,無須采用任何措施進行消元.類似這種帶有量詞?與?的兩個變量的問題,如果兩個函數之間是等量關系,則問題可以轉化為兩個函數的值域之間的關系問題；如果兩個函數之間是不等關系,則問題可以轉化為兩個函數各自最值之間的關系問題,上述四個問題可以概括如下.

?x1∈[a,b],?x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立?fmin(x)＞gmin(x)；

?x1∈[a,b],?x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立?fmax(x)＞gmax(x)；

?x1∈[a,b],?x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立?fmax(x)＞gmin(x)；

?x1∈[a,b],?x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立?fmin(x)＞gmax(x).

值得注意的是,上述問題與下面的問題要加以區分:在例6的條件下,若?x∈[－3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍.

這個問題中,不等號左右兩側的變量是同一個,因此不能分別求兩側的最值進行比較,而應該移項構造新函數h(x)＝f(x)－g(x),轉化為h(x)≤0的恒成立問題.當然,若函數滿足對?x1,x2∈[－3,3],都有f(x1)≤g(x2),即fmax(x)≤gmin(x)成立,則h(x)＝f(x)－g(x)≤0也是成立的,但反之不行.

函數中的雙變量問題是近年來高考中經常涉及的一類問題,解決此類問題的方法通常都需要構造新函數.構造函數的本質是要確定自變量和對應關系,可以采用消元、換元、分離變量、選定主變元等方式來確定自變量,將雙變量的問題轉化為新構造的單變量函數問題.