借助函數的性質巧解題

和黎明

(山西省長治市長子縣第一中學校)

函數的性質是高考考查的重點,特別是指數函數、對數函數、冪函數的基本性質,一般以選擇題或填空題的形式出現,難度中等.本文結合例題對常見有關函數的性質問題進行分析,希望對學生的學習有所幫助.

1 借助函數的奇偶性,巧求值

歸納總結 求解此類問題需要關注以下兩點:一是分析相關函數的奇偶性,具體問題中,往往需要靈活構造函數,并分析該函數的奇偶性；二是活用函數的奇偶性解題,靈活運用函數的奇偶性對目標式進行變形,再化簡求值.

2 借助函數的單調性,巧求參數的取值范圍

利用函數的單調性求參數的取值范圍是一類經常考查的熱點問題,只有熟練掌握指數函數、對數函數、冪函數的單調性以及復合函數的單調性法則,才能順利求解相關問題.

歸納總結 求解此類問題需要關注以下兩點:一是分析函數單調性,具體問題中往往需要結合題意先構造函數,再分析其單調性；二是運用單調性,結合目標問題靈活運用得到的新函數的單調性加以求解.

3 借助函數的奇偶性和單調性,巧求參數的取值范圍

求解與函數有關的不等式問題時,往往需要靈活運用函數的奇偶性,先對已知不等式(或目標不等式)進行適當變形,再利用函數的單調性加以求解.

歸納總結 求解本題的關鍵在于,先充分利用f(x)為偶函數這一條件對已知不等式進行化簡、變形,再利用f(x)在區間[0,＋∞)上單調遞減解不等式.特別提醒:一般地,若f(x)為偶函數,則必有f(x)＝f(|x|).

4 借助函數的對稱性,巧求值

5 借助函數的性質,比較大小

歸納總結 上述求解思路可概括為借助設元變形,先將目標問題等價轉化為考查2k－1,3k－1,5k－1的大小,再根據冪函數f(x)＝xk－1的單調性加以討論分析.特別提醒:冪函數y＝xα在(0,＋∞)上的單調性可分為三種情況.

1)若α＞0,則函數單調遞增；

2)若α＝0,則函數無單調性(為常數函數)；

3)若α＜0,則函數單調遞減.

總之,處理與函數有關的數學問題,往往需要關注函數的單調性、奇偶性、對稱性等,從函數的性質出發,探求具體的解題思路,提升解題能力.