函數的周期性及其應用

張 平

(廣東省珠海市實驗中學)

函數的周期性是函數的基本性質之一,揭示了函數值隨自變量變化而呈現的循環往復的規律,能反映現實世界中周而復始、周期性變化的自然現象.在高考及競賽試題中,以函數周期性為背景的試題屢見不鮮,它們著重考查周期性的定義與性質的簡單應用,或結合函數的單調性、奇偶性、對稱性等進行綜合考查,對數形結合思想、轉化與化歸思想、賦值法等數學思想方法進行檢驗,對培養學生的探究精神與探索能力有著十分重要的作用,是提升學生數學核心素養的有力載體.下面對函數周期性的相關知識與方法進行總結,并分類剖析主要題型及解法.

1 函數周期性的基礎知識

1.1 函數周期性的定義

對于函數f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有f(x＋T)＝f(x),那么函數f(x)就是周期函數,非零常數T是這個函數的周期.

一般情況下,如果T是函數f(x)的周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數f(x)的周期.如果在f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小的正數是f(x)的最小正周期.

1.2 周期函數的常見表現形式

1.3 常用結論

結論1 若函數f(x)的圖像關于直線x＝a與x＝b(a≠b)對稱,則f(x)的一個周期為2(a－b).

特別地,若偶函數f(x)的圖像關于直線x＝a(a≠0)對稱,則f(x)的一個周期為2a.

結論2 若函數f(x)的圖像關于點(a,m)與(b,m)(a≠b)對稱,則f(x)的一個周期為2(a－b).

特別地,若奇函數f(x)的圖像關于點(a,0)(a≠0)對稱,則f(x)的一個周期為2a.

結論3 若函數f(x)的圖像有一條對稱軸x＝a與一個對稱中心(b,m)(a≠b),則f(x)的一個周期為4(a－b).

結論4 若奇函數f(x)的圖像關于直線x＝a(a≠0)對稱,則f(x)的一個周期為4a.

限于篇幅,僅證結論4.

證明 由f(x)為奇函數知f(－x)＝－f(x),由f(x)的 圖 像 關 于 直 線x＝a(a≠0)對 稱 可 知f(－x)＝f(2a＋x),從而f(2a＋x)＝－f(x),則f(4a＋x)＝－f(2a＋x)＝f(x),即f(x)的一個周期為4a.

2 函數周期性的應用

2.1 求函數的周期

2.2 求函數解析式

2.3 求函數值

2.4 比較函數值的大小

2.5 解函數不等式

例11 設函數f(x)是定義在R 上以2為周期的偶函數,在區間[0,1]上嚴格遞減,且滿足f(π)＝1,f(2π)＝2,則當1≤x≤2時,1≤f(x)≤2的解集為.

2.6 解決與函數零點相關的問題

圖1

圖2

直線y＝x＋m是斜率為1的平行直線系,由于y軸右側每一段的定義域都是左開右閉的,要使函數f(x)與直線y＝x＋m有2個交點,則m＜1,即實數m的取值范圍為(－∞,1).

函數零點問題是高中數學的重點與難點,難度較大,綜合性強,對學生的思維能力要求高.此類問題主要有兩種考查途徑:一是確定零點的個數,如例13與例14；二是已知零點個數求參數的取值范圍,例13考查了思維的敏捷性與批判性,其中求得f(4)＝0是關鍵,也是難點；例14與例15則重點考查了數形結合思想,考查學生畫圖、識圖、用圖的能力.

對于與函數周期性相關的問題,要緊緊抓住函數周期變化這一特征,研究清楚函數在一個周期內的圖像與性質.在記憶理解相關知識、方法、結論的基礎上,認真審題,挖掘題目條件背后隱藏的關鍵信息,靈活運用賦值法、數形結合、轉化與化歸、迭代與歸納等數學思想方法,提高解題效率,增強用數學知識解決問題的能力,提升數學素養,逐步實現用數學的眼光觀察世界,用數學的思維思考世界,用數學的語言表達世界.