“隱零點”的破解策略

郭琳琳 管成芳

(山東省淄博市臨淄中學)

“隱零點”問題是導數壓軸題中常見的一類重點問題,也是歷年高考數學試卷中的常考問題.在破解導數壓軸題時,經常會碰到導函數存在零點,但求解此“隱零點”相對比較繁雜甚至出現無法求解的情況,此時我們一般對此“隱零點”設而不求,通過整體代換加以過渡,再結合題目的其他條件解決問題.

1 破解“隱零點”問題的基本策略

1)借助函數零點存在定理判定導函數零點的存在性或利用“二分法”進一步縮小零點的范圍,列出零點方程f′(x0)＝0,并結合f′(x)的單調性確定零點x0的取值范圍；

2)以零點x0為分界點,說明導函數f′(x)的正負取值情況,進而得到f(x)的最值表達式；

3)將零點方程f′(x0)＝0加以適當變形,整體代入進行化簡證明,從而求最值、解不等式.

破解導函數“隱零點”問題最根本的就是整體代換,合理借助“指”“對”替換,抓住零點的取值范圍,構造新的函數求解最值或證明不等式.而對于含有參數的問題,在整體代換時,參數的消與留,往往根據具體的問題進行合理判斷.

2 “隱零點”問題的常見題型

2.1 “隱零點”的存在性

2.2 參數取值的確定

2.3 不等式的證明

例3 已知函數f(x)＝lnx－x＋1,g(x)＝axex－4x,其中a為大于零的常數.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)求證:g(x)－2f(x)≥2(lna－ln2).

合理構造函數,通過導函數的正負取值情況確定導函數的“隱零點”,建立涉及“隱零點”的方程,為下一步的整體代換與化歸轉化提供條件,這是證明不等式問題經常應用到的策略與技巧.

導函數“隱零點”雖然難以求解,但只要抓住其特征(零點方程),判斷其范圍(用函數零點存在定理),最后整體代入即可.解題的關鍵是合理轉化、巧妙推理.導函數“隱零點”問題能有效交會與融合函數、方程、不等式、三角函數、導數等眾多相關的知識,選拔性強、區分度高,可以很好地考查化歸與轉化、分類討論、數形結合等思想方法.