應用放縮法處理導數壓軸題的三個要素

張永剛 趙洪柱

(山東省淄博市臨淄中學)

放縮法是處理導數背景下不等式問題的重要方法,通過放縮可將超越式化為一次或二次式,從而大大簡化問題的求解過程.本文通過對典型問題進行解答分析,詳細闡述應用放縮法的三個要素,即放縮工具、放縮方向、放縮程度.

1 例題呈現

此類問題中所涉及的函數主要是高中數學中所學的幾類基本初等函數(即指數函數、對數函數、三角函數、冪函數).證明此類問題較簡捷的方法是放縮法.放縮的工具主要與這幾個函數的概念、性質或二級結論相關.

2 策略應用

在應用這些不等式解題時,要先證明再應用,這些結論的證明較為簡單,可構造函數,利用導數求函數的最值,如例2.

對于這些不等式,學生應要熟練記憶并靈活應用.

2.2 確定放縮方向

從上述放縮工具來看,即有“≥”也有“≤”,要選哪一種放縮方向,要視具體問題而定,例1欲證的不等式為xlnx－ex－cosx＋1＜0,所以需要將不等式左側的函數放大,即采用“≤”的形式.

思路1 例1中x∈(0,＋∞),對于ex來說,可采用二次式放縮,如ex≥x2＋1(x≥0),進而證明不等式①,可轉化為證明

那么lnx如何放縮? 因為ex已經放縮為二次式,若利用lnx≤x－1(x＞0)進行放縮,則xlnx也變換為關于x的二次式,進而將函數形式進一步統一.

因此,式②進一步可轉化為x(x－1)－x2－cosx＝－x－cosx＜0.令g(x)＝－x－cosx,則g′(x)＝－1＋sinx≤0,因為x＞0,所以g(x)＜g(0)＝－1,所以－x－cosx＜0,進而可得原不等式成立.

2.3 明確放縮程度

要將不等式放縮到何種程度,是問題能否順利求解的關鍵.從上面的放縮不等式來看,以ex為例,放縮后既有一次式,也有二次式,在具體問題的求解中選擇不同的放縮工具,放縮程度是不同的.當所給自變量的范圍較小時,例如當x∈(0,1)時,采用ex≥x＋1,有e＞2,e與2較為接近,但當x∈(0,＋∞)時,ex與x＋1差距較大.

例1也可同時對指數式和三角函數式進行放縮,但要把握好放縮的程度.例如sinx與x,若x∈(0,1),則sin1與1較為接近,此時可考慮采用sinx≤x進行放縮；若x趨近于正無窮,而sinx∈[－1,1],二者差距較大,此時可考慮利用三角函數的值域進行放縮.

3 小結

總之,與導數有關的不等式證明問題,雖然綜合性強,但并非無規律可循,只要我們明確放縮的工具,弄清放縮的方向,準確把握放縮的程度,即可以不變應萬變.