分離參數法求解函數常見題型的應用分析

晁普旗

(江蘇省新沂市高級中學)

分離參數方法是高中數學中常見的一種解題方法,具體過程是指通過分離參數的形式,運用函數的觀點討論并確定參數的取值范圍.分離參數法常用于解答函數的單調性問題、函數的零點問題以及與函數有關的不等式恒成立問題,運用該方法能避免一些復雜的分類討論.本文結合具體例題分析,總結在常見函數問題中分離參數方法的解題思路,幫助學生深刻理解分離參數法,拓寬解題思維并提高解題效率.

1 函數單調性問題

運用分離參數法求解含參數的函數單調性問題的解題思路:

1)根據函數的單調性,列出導函數對應的不等式,如f(x)為增函數,則f′(x)≥0在定義域上成立；

2)分離f′(x)≥0中的參數,對不等號一邊不含參數的解析式進行討論,求其在定義域上的最值,如分離后得到m≤g(x),則求定義域內g(x)的最小值；

2 函數零點問題

運用參數分離法求解函數零點問題的解題思路:

1)對函數解析式f(x)＝a－g(x)進行變量分離,使其等價替換為a＝g(x)形式；

2)分別分析函數y＝a和y＝g(x),求出y＝g(x)的值域；

3)若函數無零點,則參數a不在函數g(x)的值域上；若函數給出零點個數,則需要結合具體圖像進行分析.

圖1

3 不等式成立問題

運用分離參數方法求解不等式恒成立問題的具體思路:

1)對問題中恒成立的不等式進行參數分離,使其等價為不等式a≥g(x)恒成立；

2)在定義域內,借助函數性質或導函數求解函數g(x)的最值；

3)結合最值,判斷參數a的取值范圍.

分離參數法是學生在學習和練習過程中應掌握的一種方法,求解不同的題型有著對應的解題思路.求解函數單調性問題應根據單調性列出對應不等式,進而分離參數求解；函數零點問題可以考慮分離參數,使其轉化為求解函數的值域問題進行解答；不等式恒成立問題應將不等式進行參數分離,轉化為求構造函數的最值,即可求得參數范圍.只有熟練掌握常見的方法和解題思路,才能達到高效解題的目的.