帶非線性邊界條件的一類離散梁方程正解的存在性

2022-08-04 01:24:08景證棋路艷瓊

吉林大學學報(理學版) 2022年4期

景證棋, 路艷瓊

(西北師范大學數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言與主要結果

帶非線性邊界條件的微分方程(差分方程)邊值問題是一類重要的非線性問題, 廣泛應用于計算機科學、經濟學、神經網絡、生態學、動力系統等領域[1-7]. 四階微分方程邊值問題可以刻畫彈性梁的橫向彎曲平衡態[8-10]. 對于懸臂梁, 一端固定(位移及旋轉角為零)、另一端自由(彎矩為零, 剪力變化)的平衡態可由u(0)=u′(0)=u″(1)=0,u?(1)+c(u(1))=0刻畫[3-5].

Alves等[3]用單調迭代法研究了帶非線性邊界條件的梁方程

正解的存在性和唯一性; Cabrera等[4]用混合單調算子方法研究了帶非線性邊界條件的梁方程

正解的存在性, 其中f(t,x,y): [0,1]×[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞),f(t,x,y)關于x單調遞增, 關于y單調遞減; 特別地, Yan[5]用Krasnoselskii不動點定理研究了帶非線性邊界條件的梁方程

正解的存在性, 其中λ>0為參數,h∈C([0,1],[0,∞)),f∈C((0,∞),), 且f允許取負值.但對于帶非線性邊界條件的離散邊值問題正解的存在性研究目前文獻報道較少[6-7].Lu等[6]用分歧理論研究了帶非線性邊界條件的二階差分方程

正解的全局結構, 其中α,β≥0為常數, [1,N]={1,2,…,N},p,q,a為定義在[1,N]上的函數; 蘇艷[7]將文獻[6]中非線性邊界條件進行了推廣, 用分歧理論得到了該問題正解存在的最優充分條件.

受文獻[5-7]啟發, 本文討論帶非線性邊界條件的一類離散梁方程

(1)

正解的存在性, 其中:λ>0為參數;h: [2,T]→[0,∞)為函數;f∈C((0,∞),)且在u=0處允許有奇性, 在u=∞處超線性增長.本文主要結果如下：

定理1假設下列條件成立:

1)c: [0,∞)→[0,3/(T2(T+1))]連續;

2)f: (0,∞)→連續且

則存在一個參數λ0>0, 使得當λ<λ0時, 問題(1)有一個正解uλ, 且當λ→0+時,uλ→∞在[2,T]上一致成立.

2 引理

引理1[11]設E是一個實Banach空間,P?E是一個有序錐, 算子T:P→P全連續.假設存在x∈E,x≠0和常數r,R>0且r≠R, 使得下列結論成立:

1) 若u∈P滿足u=θTu,θ∈[0,1], 則‖u‖≠r;

2) 若u∈P滿足u=Tu+ξx,ξ≥0, 則‖u‖≠R.

則算子T有一個不動點u∈P, 且min{r,R}<‖u‖

定義函數空間E∶={u|u: [0,T+2]→}, 則E按范數構成Banach空間.

引理2設ω為問題

(2)

的解, 其中m: [2,T]→[0,∞)為函數, 且則

ω(t)≥?！亍辯(t),t∈[2,T],

(3)

其中

(4)

證明: 通過計算可得

其中格林函數

(5)

(6)

1) 當t,t0≤s時, 有

2) 當t≤s≤t0時, 有

3) 當s≤t≤t0時, 有

4) 當t0≤s≤t時, 有

引理3設函數g: [2,T]→[0,∞), 且u滿足

(11)

(12)

證明: 設ω0(t)∈E為問題

(13)

的唯一解, 則由引理2知

令v(t)=u(t)-ω0(t),v(τ)=‖v‖∞,τ∈[2,T], 且滿足下列假設之一:

(ii) 當Δ3u(T-1)=0時, Δ2u(T)≤2Δu(0);

(iii) 當Δ3u(T-1)<0時, Δ3u(T-1)≤Δ2u(T)≤2Δu(0).

則由v(t)滿足

(15)

v(t)≥Γ‖v‖∞q(t),t∈[2,T].

(16)

根據式(14),(16)和v(t)=u(t)-ω0(t), 有

故式(12)成立.證畢.

3 定理1的證明及應用

(18)

(19)

其中

(20)

(21)

根據Lebesgue控制收斂定理知u∈E, 即A:E→E.定義E上的錐P為

(22)

不難驗證,P為E上的有序非負錐.對任意的u∈P, 由定理中條件3)和引理3可知Aλ(P)?P.下面證明算子Aλ:P→P全連續.

沙溝一旦發生大規模泥石流災害，其威脅對象主要為溝口南川區金山鎮金獅村四社集中居民點，威脅金獅村小學、昆達農業有限公司和居民住戶共161戶604人的生命及財產安全。為此，研究沙溝泥石流的形成因素、物理力學特征參數和可能發生的危險性，針對該泥石流的特征，提出工程治理措施對保障人民群眾生命財產安全，意義重大。

1) 證明算子Aλ:P→P連續.

設{vn}∈E，使得vn→v在P上成立.令un=Aλvn,u=Aλv.固定t,s∈[2,T], 定義

滿足

(24)

且存在一個常數N, 使得|H′(z)|≤N.由中值定理可知|Gγvn(t,s)-Gγv(t,s)|≤N|γvn-γv|.

因此Aλ:P→P連續.

2) 證明算子Aλ:P→P全連續.

事實上, 對任意的v∈P, 有