具有恐懼效應和空間異質捕食-食餌模型的穩態解

張萌萌, 李善兵

(西安電子科技大學 數學與統計學院, 西安 710126)

0 引 言

目前, 具有恐懼效應的捕食-食餌模型已得到廣泛關注[1-6]. 對于大多數生物物種, 它們生活的自然環境通常是空間異質的. 因此, 除物種之間的直接效應(獵殺)和間接效應(恐懼效應)外, 種群間的動態行為也會受環境異質性的影響. 盡管已有許多數學模型定量研究了恐懼成本在捕食-食餌相互作用中的影響, 但關于空間異質環境中恐懼成本對捕食-食餌模型影響的研究目前文獻報道較少[7]. 基于此, 本文考慮一類帶恐懼效應和空間異質的Holling Ⅲ型捕食-食餌模型:

(1)

這里:Ω為n中具有光滑邊界的有界開區域; Δ為Lapalce算子,u,v分別表示食餌和捕食者的種群密度;du,dv分別表示食餌和捕食者的隨機擴散系數; 參數r,k,d,a,m,c均為常數, 其中r>0表示食餌的出生率,d>0表示食餌的自然死亡率,a>0表示食餌的種內競爭,c>0為轉化率,k≥0表示恐懼的程度,m∈表示捕食者的自然增長率; 捕食-食餌相互作用系數b(x)>0是空間依賴函數而不是常數.

本文主要討論恐懼成本和空間異質對系統(1)穩態解的影響, 其中系統(1)的穩態解滿足如下非線性橢圓方程:

(2)

首先, 利用Riesz-Schauder理論和比較原理分析其平凡解和半平凡解的局部漸近穩定性和全局吸引性; 其次, 利用不動點指數理論建立其正穩態解存在的充分條件.

1 平凡解和半平凡解的穩定性

進一步, 關于λ1(d,q(x))有如下性質.

命題1[8-9]下列結論成立:

1)λ1(d,q(x))關于q(x)連續且單調遞增, 即當q1(x)≤q2(x)且q1(x)≠q2(x)時,λ1(d,q1(x))<λ1(d,q2(x));

定理1下列結論成立:

1) 當rd或m>0時, (0,0)是不穩定的;

由Riesz-Schauder理論可知, 算子L((r-d)/a,0)的譜點σ(L((r-d)/a,0))由實特征值構成, 且

利用拋物方程的比較原理, 可得如下平凡解和半平凡解的全局吸引性.

定理2下列結論成立:

證明: 由于1)～3)的證明類似, 因此這里只給出3)的證明.由系統(1)中v(x,t)的方程可知, 當(x,t)∈Ω×(0,∞)時, 有

設V(x,t)為如下方程的解:

由系統(1)中u(x,t)的方程可知, 當(x,t)∈Ω×[Tε1,∞)時, 有

令U(x,t)為如下方程的解:

再由系統(1)中v(x,t)的方程可得

2 正解的存在性

下面用不動點指數理論, 建立系統(2)正解存在的充分條件.首先給出系統(2)正解的先驗估計.

證明: 由系統(2)關于u(x,t)的方程可知,

進一步, 當m>0時, 由u(x,t)的方程可知,

indexW(A,U)=index(A,U,W)=indexW(I-A,U,0),

其中I是一個單位映射, 假設y是 A的一個孤立不動點, 則在W上, A在y處的指標為indexW(A,y)=index(A,U(y),W), 其中U(y)是y在W上的一個小鄰域.

假設E=Ey⊕Sy, 其中Ey是E的閉線性子空間,Wy是生成子空間.A在y處的指標可由文獻[10](或文獻[7])的結果計算.

命題2[10]假設Q:E→Ey是Ey沿著Sy的一個投影算子, 如果L(y)在Wy上沒有非零不動點, 則index(A,y)存在, 且下列結論成立:

1) 若Q°L(y)在Wy上有大于1的特征值, 則indexW(A,y)=0;

2) 若Q°L(y)在Wy上沒有大于1的特征值, 則indexW(A,y)=indexSy(L(y),0)=(-1)σ, 其中σ是L(y)限制在Sy上大于1的特征值的代數重數之和.

對t∈[0,1], 定義一個Fréchet可導緊算子At:D→E如下：

這里M是一個充分大的數, 使得

且

其中(u,v)∈D.

引理2假設r>d,m>0, 則下列結論成立：

1) indexW(A1,(0,0))=0;

為得到indexW(A1,(0,m)), 下面分析Q°L1(0,m)的特征值, 其中Q:E→E(0,m)是E(0,m)沿著S(0,m)的投影算子.由Q的定義可知,Q°L1(0,m)的特征函數都有(φ,0)的形式, 其中φ是以下方程的非零解:

由文獻[11]中引理2.4可知, 當λ1(du,-r/(1+km)+d)<0(>0)時,

其中r[L]表示算子L的譜半徑.因此, 當λ1(du,-r/(1+km)+d)<0時,Q°L1(0,m)的特征值大于1, 故indexW(A1,(0,m))=0.另一方面, 如果λ1(du,-r/(1+km)+d)>0, 則Q°L1(0,m)沒有大于1的特征值.因此由命題2知, indexW(A1,(0,m))=(-1)σ, 其中σ是L1(0,m)限制在S(0,m)上大于1的特征值的代數重數之和.下證σ=0.假設(φ,φ)∈S(0,m)是L1(0,m)的特征函數,μ為對應的特征值, 則φ=0,φ是以下方程的非零解:

引理3假設r>d,m<0, 則下列結論成立.

1) indexW(A1,(0,0))=0;

3) indexW(A1,D)=1.

借助引理2和引理3, 利用不動點指數的可加性, 可得下列系統(2)正解的存在性.

定理3假設r>d, 則下列結論成立:

3) 如果m=0, 則系統(2)至少存在一個正解.

1=indexW(A1,D)=indexW(A1,(0,0))+indexW(A1,((r-d)/a,0))+indexW(A1,(0,m))=0,

3) 假設(ui,vi)是系統(2)當m=mi時的任一正解, 即(ui,vi)滿足

綜上, 本文討論了一類具有恐懼效應和空間異質的捕食-食餌模型的穩態解, 并重點分析了模型平凡解和半平凡解的穩定性以及正解的存在性. 首先利用Riesz-Schauder理論證明了平凡解和半平凡解的局部漸近穩定性. 定理1結果表明, 恐懼效應對半平凡解((r-d)/a,0)的局部穩定性沒有影響, 但對半平凡解(0,m)的局部穩定性有明顯影響.進一步, 本文利用拋物方程的比較原理得到了平凡解和半平凡解的全局吸引性.定理2結果表明: 當恐懼效應較強時, 半平凡解(0,m)是全局吸引的, 即當恐懼效應較強時, 食餌物種更易滅絕； 同時, 如果捕食者的死亡率過大, 則捕食者無法持久生存, 并最終會滅絕.最后, 借助不動點指數理論建立了模型共存解的存在性.定理3結果表明: 在r>d的條件下, 如果捕食者的自然增長率是正的(i.e.,m>0)且沒有恐懼效應(i.e.,k=0), 則模型共存解總是存在的; 但引入恐懼效應后(i.e.,k>0), 只有恐懼效應較弱時, 模型共存解才可能存在, 即恐懼效應對模型共存解的存在性有明顯影響.