一類四階非線性發展方程的整體吸引子

楊佳雪, 段 寧

(東北大學 理學院, 沈陽 110004)

1 引言與主要結果

在研究動力學控制晶體生長過程中小平面和角點的形成時, Golovin等[1]引入了如下四階非線性發展方程:

(1)

該方程可用于刻畫無表面生長時取向不穩定的晶體表面, 其中線性阻尼系數v>0描述了邊緣附加能量的穩定作用, 且決定邊緣的寬度, 系數m>0表征了熱力學不穩定表面線性刻畫的不穩定性, 正常數a,b,c是表征小平面穩定取向的系數.

Duan等[2]將方程(1)簡化為如下的一維形式：

(2)

并為方程賦予了Neumann邊值條件和初值條件, 考慮了其整體弱解的存在唯一性, 證明了當初值u0(x)∈Hk(0,1)(k∈(0,+∞))時, 方程(2)在Hk(0,1)空間存在一個整體吸引子.本文進一步研究方程(2)解的長時間行為.考慮到實際的物理背景, 對于u和階數≤3的u的導數附加如下周期邊值條件[3]：

φ|xi=0=φ|xi=li,i=1,2,3,

(3)

且假設方程的初值條件為

u(x,0)=u0(x),x∈(0,1).

(4)

本文僅假設初值所在的空間為H1(0,1), 證明方程(2)在更高階空間H4(0,1)中存在整體吸引子.本文結果對初值正則性的要求較低, 因此可視為是對Duan等[2]結果的改進.

首先, 問題(2)-(4)的解滿足質量守恒, 即

進一步, 可給出整體弱解的存在性:

下面給出本文的主要結果.

2 解的一致估計

引理2假設u0∈L2(0,1), 并且v充分大, 則

‖u(t)‖≤M0, ?t≥T0,

其中M0是依賴m,a,v的正常數,T0是依賴m,a,v和R的正常數.

下面涉及的正常數Mi和Ti(i=1,2,…,6)均具有與M0和T0相同的要求.

證明: 將方程(2)兩邊同乘u, 并在(0,1)上積分, 可得

(5)

因為

所以有

(6)

利用質量守恒和Poincaré不等式[5], 可得

(7)

(8)

(9)

‖ux(t)‖≤M1, ?t≥T1,

證明: 將方程(2)兩邊同乘-uxx, 并在(0,1)上積分, 可得

(10)

因為

所以有

(11)

從而有

(12)

(13)

由積分中值定理知, 存在一個時間t0∈(T1,T1+1), 使得‖uxxx(t0)‖2≤C8.

‖uxx(t)‖≤M2, ?t≥T2,

證明: 將方程(2)兩邊同乘uxxxx, 并在(0,1)上積分, 可得

(14)

因為

所以由Nirenberg不等式知

整理得

(15)

(16)

由Gronwall不等式知

‖uxx(t+1)‖2≤C13+‖uxx(s)‖2.

(18)

在(t,t+1)上, 對式(18)中s積分再結合式(9), 可得

(19)

由Sobolev嵌入定理[7]、 引理2、 引理3和式(19)可得‖ux‖∞≤C15.

將方程(2)兩邊同乘ut, 并在(0,1)上積分, 可得

所以有

(21)

將式(21)在(t+1,t+2)積分, 并結合引理2、 引理3和式(17)有

(22)

‖uxxx(t)‖≤M3, ?t≥T3,

證明: 對方程(2)關于x求二階導, 得

(23)

將方程(23)兩邊同乘uxxxx, 并在(0,1)上積分, 可得

(24)

由Nirenberg不等式可知

所以有

綜上, 有

(25)

由Gronwall不等式, 得

‖uxx‖∞≤C23.

將方程(23)兩邊同乘ut, 并在(0,1)上積分, 可得

整理得

(26)

令t≥T1*,s∈(t,t+1), 在(s,t+1)上對式(26)積分, 可得

v‖uxxx(t+1)‖2≤C24+v‖uxxx(s)‖2+m‖uxx(t+1)‖2-m‖uxx(s)‖2,

對s積分, 有

(27)

證明: 令w=ut, 將方程(2)對t微分, 得

(28)

注意到

‖wx‖≤‖w‖2/3‖wxxx‖1/3, ‖wxx‖≤‖w‖1/3‖wxxx‖2/3.

將方程(28)兩邊同乘w, 并在(0,1)上積分, 可得

即

(29)

由Poincaré不等式和質量守恒知

證明: 將方程(28)兩邊同乘Aw, 并在(0,1)上積分, 可得

由Poincaré不等式和質量守恒知

證明: 由方程(2)、 引理2～引理7, 可知?t≥T6=max{T1,T2,…,T5}, 有

證畢.

3 定理1的證明

考慮問題(2)-(4), 首先證明{S(t)}t≥0存在一個(H1,H1)整體吸引子; 其次證明該吸引子也是問題(2)-(4)的一個(H1,H4)吸引子.

假設M1和M6分別是引理3和引理8中的常數, 且

證明: 由方程(2)可知

‖wn‖D(A1/2)≤M5, ‖un‖D(A2)≤M6, ?t≥T,n=1,2,….

(31)

因為tn→∞, 故存在N>0, 使得對于所有的n≥N, 均有tn≥T成立.因此, 由式(31)可得

‖wn(tn)‖D(A1/2)≤M5, ‖un(tn)‖D(A2)≤M6, ?n≥N.

(32)

(33)

由式(31)和Sobolev嵌入定理, 可得‖un(tn)‖L∞≤C, ?n≥N.從而可得

‖wn(tn)-w‖2→0, ‖un(tn)-u‖2→0, ‖uxx,n(tn)-uxx‖2→0,

并且有