斜投影乘積交換性的一些等價刻畫

宋顯花, 加羊杰

(1. 青海師范大學 數學與統計學院, 西寧 810008; 2. 青海師范大學 民族師范學院, 西寧 810008)

0 引 言

斜投影(也稱冪等元)是結構較簡單的算子, 也是最基本的算子, 在系統識別、 系統建模、 多變元分析、 參數估計等領域應用廣泛. 目前, 關于斜投影的研究已取得了豐碩的成果[1-11]. 文獻[1-4]主要利用算子的值域和零空間研究了兩個斜投影乘積的交換性; 文獻[5-6]研究了兩個斜投影的和、 差、 積等群逆的存在性及其表示形式. 受上述研究工作的啟發, 本文利用兩個斜投影的和、 差、 積等幾種代數組合的{1}-,{1,5}-,{2,5}-逆和群逆給出兩個斜投影乘積可交換的等價刻畫. 斜投影的其他相關研究可參見文獻[7-11].

設B(X)是復Banach空間X上有界線性算子全體構成的集合.設A∈B(X), N(A)和R(A)分別表示算子A的零空間和值域空間,B(H)是復Hilbert空間H上有界線性算子全體構成的集合.設P∈B(X), 若P2=P, 則稱P是斜投影.用I(X)表示B(X)上斜投影全體構成的集合.設P∈B(H), 若P2=P=P*, 則稱P是投影.用P(H)表示B(H)中投影全體構成的集合,I表示相應空間上的恒等算子.線性算子A∈B(X)的升標和降標分別定義為

asc(A)=inf{p∈: N(Ap)=N(Ap+1)}, dsc(A)=inf{p∈: R(Ap)=R(Ap+1)},

設A∈B(X), 如果存在X∈B(X)滿足算子方程(1),(2),(5), 則稱A是群可逆算子,X為A的群逆,A的群逆存在當且僅當ind(A)≤1.若A的群逆存在, 則唯一, 記作A#.設B(H)是復Hilbert空間H上有界線性算子全體構成的集合.設A∈B(H),A*表示算子A的伴隨算子.如果存在X∈B(H)滿足算子方程(1)～(4), 則稱A是Moore-Penrose可逆算子,X為A的Moore-Penrose逆.A的Moore-Penrose逆存在當且僅當A的值域是閉的.若A的Moore-Penrose逆存在, 則唯一, 記作A?.對于集合K?{1,2,3,4,5}, 如果X∈B(X)或X∈B(H)滿足方程(j)(?j∈K), 則稱X是A的K-逆,A的K-逆不一定唯一,A的所有{i,j,…,k}-逆的集合記作A{i,j,…,k}, 其中i,j,…,k∈{1,2,3,4,5}.

1 主要結果

設P,Q∈I(X), 按空間分解X=R(P)N(P), 設

(6)

由Q2=Q知

(7)

設P,Q∈I(X)如式(6)所示.由

容易驗證

(12)

首先, 借助兩個斜投影和的{1,5}-逆刻畫兩個斜投影乘積的交換性.由文獻[3] 有

定理1設P,Q∈I(X), 若P+Q的{1,5}-逆存在, 則

其中(P+Q){1,5}表示算子P+Q所有{1,5}-逆的全體之集.

(13)

(14)

由式(6),(7)知,

從而由式(8)～(12)知

交換P,Q的位置可得

證畢.

定理1借助P+Q的{1,5}-逆給出了P,Q乘積可交換的充要條件.

注1注意到

因此, 定理1中的{1,5}-逆改成{2,5}-逆時, 結論也成立.

注3若I-PQ的{1,5}-逆存在, 則用與定理1相同的方法可證明PQ=QP?I-QP∈(I-PQ){1,5}.

特別地, 當P,Q∈P(H)時, 有PQ=QP?PQ∈P(H).于是

定理2若P,Q∈P(H), 則下列條件等價:

1)PQ=QP;

2)P-Q-PQ∈(P-Q){1};

5)I-QP∈(I-PQ){1};

6)P+Q-QP∈(P+Q-PQ){1}.

證明: 1)和2)的等價性由文獻[3]中定理4.2可得.由{1}-逆的定義可知,

(15)

(16)

I-QP∈(I-PQ){1}?P+Q-QP∈(P+Q-PQ){1}?PQP+QPQ=PQ+QP.

(17)

將式(15)右乘P可得

QP=QPQP,

(18)

將式(16)左乘P可得

PQPQPQ+PQPQP=PQ+PQP,

(19)

將式(19)右乘Q可得

2PQPQPQ=PQ+PQPQ,

(20)

由式(19),(20)可得

PQPQ+2PQPQP=PQ+2PQP,

(21)

將式(21)右乘P可得

PQPQP=PQP,

(22)

將式(17)左乘P可得

PQ=PQPQ.

(23)

顯然, 式(18),(22),(23)相互等價, 且都等價于PQ=QP.反之, 若PQ=QP, 則式(15)～(17)顯然成立.于是1),3),4),5)和6)等價.證畢.

其次, 借助兩個斜投影差的群逆刻畫兩個斜投影乘積的交換性.

此時有

設F=P(P-Q)#,G=(P-Q)#P,H=(P-Q)#(P-Q), 則F,G,H都是斜投影.

定理3設P,Q∈I(X), 若(P-Q)#存在, 則下列條件等價:

1)PQ=QP;

4)QHP=PQH.

證明: 由式(6)和引理1得

(24)

(25)

(26)

再由式(6)及式(24)～(26)知

于是

定理3利用F,G,H這3個斜投影刻畫了P,Q乘積的交換性.

最后, 借助兩個斜投影乘積的群逆刻畫斜投影乘積的交換性.

此時

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

證明: 首先, 證明若(PQ)#,(QP)#存在, 則

設P,Q∈I(X)如式(6)所示, 由式(10),(11)知, 只需證明

(PQ)#=Q(QP)#?Q1Q2=Q2Q3=Q3Q1=0.

事實上, 有

下面證明式(33)成立?Q1Q2=Q2Q3=Q3Q1=0.

Q2Q3Q1=Q2(Q3Q1+Q4Q3)Q1=0.

由式(12)知結論成立.證畢.

證明: 只需證明若(PQ)#存在, 則

(34)

設P,Q如式(6)所示, 由式(6),(11),(27)知

(35)

(36)

于是由式(12)知結論成立.證畢.