一類組合群論問題

田開宇, 王慧群, 夏利猛

(1. 江蘇大學 數學科學學院, 江蘇 鎮江 212013; 2. 長治學院 數學系, 山西 長治 046011)

0 引 言

基于上述研究, 本文主要給出B(6,22),B(6,23),B(6,24),B(7,29),B(7,30),B(8,37)群的刻畫.除使用GAP(groups, algorithms, programming)[17]軟件計算外, 本文還刻畫了上述B(n,k)群, 并部分指出了B(n+1,n+k)群與B(n,k)群之間的一般聯系, 從而推廣了文獻[16]的結果.若無特別說明, 本文所有的群G均為非平凡B(n,k)群.

1 預備知識

引理1設G是有限群, 且|G|>n(n+k).如果G是B(n+1,n+k)群, 則G是B(n,k)群.

證明： 反證法.假設G不是B(n,k)群, 即存在G的一個n元子集B={b1,b2,…,bn}, 使得|B2|>k.由于G是B(n+1,n+k)群, 故|B2|≤n+k.令

Bl={x∈G|xB∩B2≠?}.

由于|G|>n(n+k)≥|Bl|, 故有G-Bl≠?, 即存在u∈G,u?Bl, 使得uB∩B2=?.

令A=B∪{u}, 則A2=B2∪uB∪Bu∪{u2}.所以

|A2|=|B2∪uB∪Bu∪{u2}|≥|B2∪uB|=|B2|+|uB|>n+k,

與|A2|≤n+k矛盾.故結論成立.證畢.

因此, 當|G|>120時,B(6,24)群是B(5,19)群; 當|G|>180時,B(7,30)群是B(6,24)群; 當|G|>259時,B(8,37)群是B(7,30)群.

引理2[12-13]設G為非平凡B(5,19)群, 則其必滿足下列條件之一：

1)G為Abel群.

2) 若G為2群, 則G?Q8×E2, 其中E2是初等交換2群, 且|E2|≥4.

3) 若G為非2群, 則G為下列群之一：

④C3×Q8.

2 主要結果

定理1設G為非平凡的B(6,24)群, 則G為Abel群.

證明: 當|G|>120時, 由引理1, 可以考慮B(5,19)群.由引理2, 需說明Q8與初等交換2群的直積不是B(6,24)群.

先證明G=Q8×C2×C2不是B(6,24)群.記

則G=Q8×〈z1〉 ×〈z2〉.再取

A={a,b,ab,az1,bz2,abz1z2},

通過直接計算可得|A2|=28>24, 故Q8×C2×C2不是B(6,24)群.

對于初等交換2群E2, 當|E2|≥4時,Q8×C2×C2是Q8×E2的一個子群, 所以Q8×E2(其中|E2|≥4)不是B(6,24)群.因此當|G|>120時,G為Abel群.

對于階數不超過120的非平凡B(6,24)群, 用GAP驗證都是Abel群.證畢.

由定理1, 可進一步得到B(6,23)群和B(6,22)群的結構.

推論1設G為非平凡的B(6,23)群, 則其必滿足下列條件之一：

1)G為Abel群；

推論2設G為非平凡B(6,22)群, 則G為Abel群.

定理2設G為非平凡B(7,30)群, 則G或者是Abel群, 或者同構于Q8×C2×C2.

證明: 由定理1和引理1可知, 當|G|>180時,G為Abel群. 再使用GAP驗證31～180階群, 可得結論.證畢.

推論3設G為非平凡B(7,29)群, 則G為Abel群.

證明: 由于B(7,29)群總是B(7,30)群, 由定理2只需驗證30階非交換群和Q8×C2×C2.通過GAP計算可知, 30階的非交換群共有3個:

1)C5×S3=〈a,b,c|a5=b3=c2=1,cb=b2c, [a,b]=[a,c]=1〉；

2)C3×D10=〈a,b,c|a5=b3=c2=1,ca=a4c, [a,b]=[b,c]=1〉；

3)D30=〈a,b|a15=b2=1,ba=a14b〉.

對上述3個群分別取7元子集：

A={b,c,ab,ac,a2b,a2bc,a4b2c},A={a,c,ab,ac,bc,a2,a4b2c},A={a,b,ab,a2,a2b,a6,a6b},

均有|A2|=30; 對Q8×C2×C2, 取7元子集A={a,b,ab,ac,bd,abcd,a3}, 則有|A2|=30.因此它們都不是B(7,29)群.故非平凡B(7,29)群只能是Abel群.證畢.

進一步可得B(8,37)群的刻畫.

定理3設群G為非平凡B(8,37)群, 則G為Abel群.

證明: 當|G|> 259時, 由定理2和引理1可知,G為B(7,30)群; 更進一步,G為Abel群.為此只需檢驗38～259階的非Abel群.記|G|=m, 使用GAP軟件計算可知, 當38≤m≤259且m≠256時, 所有的非Abel群都不是B(8,37)群.為完成證明, 只需證明256階B(8,37)群是Abel群.

下面使用反證法證明256階B(8,37)群, 只能是Abel群.

假設G為非Abel群.先證明G的每個真子群都是Abel群.若不然, 必存在一個非Abel的真子群H

其中α≥2, |G|=2α+β; 或者

其中α≥2,α≥β, |G|=2α+β+1.

若G=G1, 則當α=2,3或4時, 令

A={a,b,ab,a3b,ab3,ab5,b2,b11};

當α=5,6或7時, 令

A={a,b,ab,a3b,a5b,a7b,a2,a5}.

由計算可得|A2|>37.在所有情形中, 都可以找到一個8元子集A, 使得|A2|>37, 所以G1不是B(8,37)群.

若G=G2, 令c=[a,b], 則G2可表示為

G2=〈a,b,c|a2α=b2β=c2=1, [a,b]=c, [a,c]=1, [b,c]=1〉,α≥β.

當α=4,5或6時, 令A={a,b,ab,abc,a3b,a5b,a2,a9}.易算出|A2|>37, 所以G2不是B(8,37)群.

綜合上述討論可知,G1和G2都不是B(8,37)群, 與題設矛盾.因此G為Abel群.證畢.